Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

No Boletín - Valores instantáneos de velocidad y aceleración II (Ex.Oct/19)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Vector velocidad angular)
(Vector velocidad angular)
 
Línea 55: Línea 55:
Teniendo en cuenta todo esto, así como la fórmula que permite calcular el vector binormal a partir de la velocidad y la aceleración de la partícula, podemos obtener el vector velocidad angular de la partícula en el instante considerado:  
Teniendo en cuenta todo esto, así como la fórmula que permite calcular el vector binormal a partir de la velocidad y la aceleración de la partícula, podemos obtener el vector velocidad angular de la partícula en el instante considerado:  
<center><math>
<center><math>
-
\vec{\omega}=\omega\,\vec{B}=\frac{v}{R}\,\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}|}=\frac{2}{8/\sqrt{3}}\,\frac{(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)}{\sqrt{3}}\,\,\mathrm{rad/s}=\frac{1}{4}\,(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}
+
\vec{\omega}=\omega\,\vec{B}=\frac{v}{R}\,\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}\,|}=\frac{2}{8/\sqrt{3}}\,\frac{(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)}{\sqrt{3}}\,\,\mathrm{rad/s}=\frac{1}{4}\,(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}
</math></center>
</math></center>
[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática del punto material (G.I.T.I.)]]

última version al 15:38 9 feb 2020

Contenido

1 Enunciado

Una partícula está realizando un movimiento circular, y en un instante dado su velocidad y su aceleración son las siguientes:


\vec{v}=\sqrt{2}\,(\,\vec{\imath}+\vec{k}\,) \,\,\mathrm{m/s}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\,(-\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,)
\,\,\mathrm{m/s}^2
  1. ¿Cuánto vale en ese instante la aceleración tangencial de la partícula?
  2. ¿Cuál es el radio de la circunferencia descrita por la partícula?
  3. ¿Cuál es el vector velocidad angular de la partícula en el instante considerado?

2 Aceleración tangencial

Calculamos en primer lugar la celeridad instantánea (módulo del vector velocidad):


v=|\vec{v}\,|=\sqrt{2}\,\sqrt{1^2+1^2}\,\,\mathrm{m/s}=2\,\,\mathrm{m/s}

y el módulo del vector aceleración instantánea:


|\vec{a}\,|=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{(-1)^2+1^2}\,\,\mathrm{m/s}^2=1\,\,\mathrm{m/s}^2

La aceleración tangencial en el instante de interés puede calcularse a partir de la velocidad y la aceleración mediante la fórmula:


a_t=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{v}=\frac{-1\,\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^3}{2\,\,\mathrm{m/s}}=-\displaystyle\frac{1}{2}\,\,\mathrm{m/s}^2

NOTA: La aceleración tangencial también puede calcularse como derivada temporal de la celeridad, pero para ello necesitaríamos conocer la celeridad como función del tiempo. Nótese que la celeridad que conocemos en este ejercicio es la celeridad en un instante concreto. Por eso, sería un disparate tratar de calcular la aceleración tangencial derivando respecto al tiempo esa "celeridad constante", ya que no se trata en realidad de una "función constante" sino del valor que toma una función (que desconocemos) en un instante concreto.

3 Radio de la circunferencia

Calculamos ahora la aceleración normal de la partícula en el instante de interés a partir de la aceleración tangencial y del módulo del vector aceleración:


a_n=\sqrt{|\,\vec{a}\,|^{2}-a_t^{2}}=\sqrt{1^2-\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}\,\,\mathrm{m/s}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,\mathrm{m/s}^2

Nótese que dicha aceleración normal también puede calcularse a partir de la velocidad y la aceleración mediante la fórmula:


a_n=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}\,|}{v}=\frac{\sqrt{3}\,\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^3}{2\,\,\mathrm{m/s}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,\mathrm{m/s}^2

donde se ha tenido en cuenta que:


\vec{v}\times\vec{a}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left|\!\!\begin{array}{rcc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right|=(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^3

Finalmente, a partir de la aceleración normal y la celeridad, obtenemos el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el instante analizado, el cual coincide necesariamente con el radio de la circunferencia descrita por la partícula:


R=R_{\kappa}=\frac{v^2}{a_n}=\frac{(2\,\,\mathrm{m/s})^2}{(\sqrt{3}/2)\,\,\mathrm{m/s}^2}=\frac{8}{\sqrt{3}}\,\,\mathrm{m}

4 Vector velocidad angular

En el movimiento circular de una partícula, el vector velocidad angular \vec{\omega}\, tiene la misma dirección y el mismo sentido que el vector binormal \vec{B}\, del triedro intrínseco de la circunferencia (siempre que se defina el vector tangente \vec{T}\, de dicho triedro intrínseco con el mismo sentido que el vector velocidad \vec{v}\, de la partícula).

Por otra parte, el módulo \omega\, del vector velocidad angular es igual al cociente entre el módulo v\, del vector velocidad (celeridad) y el radio R\, de la circunferencia.

Teniendo en cuenta todo esto, así como la fórmula que permite calcular el vector binormal a partir de la velocidad y la aceleración de la partícula, podemos obtener el vector velocidad angular de la partícula en el instante considerado:


\vec{\omega}=\omega\,\vec{B}=\frac{v}{R}\,\frac{\vec{v}\times\vec{a}}{|\vec{v}\times\vec{a}\,|}=\frac{2}{8/\sqrt{3}}\,\frac{(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)}{\sqrt{3}}\,\,\mathrm{rad/s}=\frac{1}{4}\,(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{rad/s}

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Esta página fue modificada por última vez el 15:38, 9 feb 2020. - Esta página ha sido visitada 45 veces. - Aviso legal - Acerca de Laplace