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No Boletín - Valores instantáneos de velocidad y aceleración II (Ex.Oct/19)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Radio de la circunferencia)
(Radio de la circunferencia)
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a_n=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}\,|}{v}=\frac{\sqrt{3}\,\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^3}{2\,\,\mathrm{m/s}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,\mathrm{m/s}^2
a_n=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}\,|}{v}=\frac{\sqrt{3}\,\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^3}{2\,\,\mathrm{m/s}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,\mathrm{m/s}^2
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donde se ha tenido en cuenta que:
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\vec{v}\times\vec{a}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left|\!\!\begin{array}{rcc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right|=(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^3
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Revisión de 13:56 9 feb 2020

Contenido

1 Enunciado

Una partícula está realizando un movimiento circular, y en un instante dado su velocidad y su aceleración son las siguientes:


\vec{v}=\sqrt{2}\,(\,\vec{\imath}+\vec{k}\,) \,\,\mathrm{m/s}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\, \vec{a}=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\,(-\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,)
\,\,\mathrm{m/s}^2
  1. ¿Cuánto vale en ese instante la aceleración tangencial de la partícula?
  2. ¿Cuál es el radio de la circunferencia descrita por la partícula?
  3. ¿Cuál es el vector velocidad angular de la partícula en el instante considerado?

2 Aceleración tangencial

Calculamos en primer lugar la celeridad instantánea (módulo del vector velocidad):


v=|\vec{v}\,|=\sqrt{2}\,\sqrt{1^2+1^2}\,\,\mathrm{m/s}=2\,\,\mathrm{m/s}

y el módulo del vector aceleración instantánea:


|\vec{a}\,|=\displaystyle\frac{1}{\sqrt{2}}\,\sqrt{(-1)^2+1^2}\,\,\mathrm{m/s}^2=1\,\,\mathrm{m/s}^2

La aceleración tangencial en el instante de interés puede calcularse a partir de la velocidad y la aceleración mediante la fórmula:


a_t=\frac{\vec{v}\cdot\vec{a}}{v}=\frac{-1\,\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^3}{2\,\,\mathrm{m/s}}=-\displaystyle\frac{1}{2}\,\,\mathrm{m/s}^2

NOTA: La aceleración tangencial también puede calcularse como derivada temporal de la celeridad, pero para ello necesitaríamos conocer la celeridad como función del tiempo. Nótese que la celeridad que conocemos en este ejercicio es la celeridad en un instante concreto. Por eso, sería un disparate tratar de calcular la aceleración tangencial derivando respecto al tiempo esa "celeridad constante", ya que no se trata en realidad de una "función constante" sino del valor que toma una función (que desconocemos) en un instante concreto.

3 Radio de la circunferencia

Calculamos ahora la aceleración normal de la partícula en el instante de interés a partir de la aceleración tangencial y del módulo del vector aceleración:


a_n=\sqrt{|\,\vec{a}\,|^{2}-a_t^{2}}=\sqrt{1^2-\left(-\displaystyle\frac{1}{2}\right)^2}\,\,\mathrm{m/s}^2=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,\mathrm{m/s}^2

Nótese que dicha aceleración normal también puede calcularse a partir de la velocidad y la aceleración mediante la fórmula:


a_n=\frac{|\vec{v}\times\vec{a}\,|}{v}=\frac{\sqrt{3}\,\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^3}{2\,\,\mathrm{m/s}}=\frac{\sqrt{3}}{2}\,\,\mathrm{m/s}^2

donde se ha tenido en cuenta que:


\vec{v}\times\vec{a}=\frac{\sqrt{2}}{\sqrt{2}}\left|\!\!\begin{array}{rcc}\vec{\imath} & \vec{\jmath} & \vec{k} \\ 1 & 0 & 1 \\ -1 & 1 & 0 \end{array}\right|=(-\vec{\imath}-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\,\mathrm{m}^2\mathrm{/s}^3

Finalmente, a partir de la aceleración normal y la celeridad, obtenemos el valor del radio de curvatura de la trayectoria en el instante analizado, el cual coincide necesariamente con el radio de la circunferencia descrita por la partícula:


R=R_{\kappa}=\frac{v^2}{a_n}=\frac{(2\,\,\mathrm{m/s})^2}{(\sqrt{3}/2)\,\,\mathrm{m/s}^2}=\frac{8}{\sqrt{3}}\,\,\mathrm{m}

4 Vector velocidad angular

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