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No Boletín - Tres velocidades con tres parámetros n, p y q (Ex.Ene/12)

De Laplace

1 Enunciado

En un instante dado, las posiciones y velocidades de tres puntos de un sólido rígido respecto a un triedro cartesiano OXYZ son las siguientes:

Punto \vec{r} (m) \vec{v} (m/s)
A \vec{\imath} \vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}
B \vec{\jmath} (1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}
C \vec{k} (1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}
  1. Verifique que estos datos son compatibles con la rigidez del sólido independientemente de los valores de n\,, p\, y q\,.
  2. Determine la velocidad instantánea del punto O\, del sólido que se halla en el origen de coordenadas.
  3. ¿Para qué valores particulares de n\,, p\, y q\, estaría el sólido realizando una traslación instantánea?
  4. Halle el vector velocidad angular y la velocidad de deslizamiento del sólido en función de n\,, p\, y q\,.
  5. Determine qué condiciones matemáticas deberían cumplir n\,, p\, y q\, para que el sólido estuviera realizando un movimiento helicoidal instantáneo cuyo EIRMD pasara por el origen de coordenadas. ¿Qué valor tendría en tal caso la velocidad de deslizamiento?

2 Compatibilidad con la rigidez

La condición cinemática de rigidez consiste en la equiproyectividad del campo de velocidades:


\vec{v}_P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}_Q\cdot\overrightarrow{PQ}

Sometiendo a examen a cada par de puntos:


\overrightarrow{AB}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)=n \\ \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,)=n\end{array}\right.

\overrightarrow{AC}=-\vec{\imath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AC}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)=-p \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{AC}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k}\,)=-p\end{array}\right.

\overrightarrow{BC}=-\vec{\jmath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{BC}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)=q \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{BC}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k}\,)=q\end{array}\right.

se comprueba que se verifica la condición independientemente de los valores de n\,, p\, y q\,.

3 Velocidad del punto O\,

La velocidad del punto O\, se obtiene fácilmente aplicando la condición de equiproyectividad para los pares de puntos formados por O\, y cada uno de los otros tres puntos en los que conocemos la velocidad.

Si la velocidad de O\, es


\vec{v}_O=v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}

y exigiendo la equiproyectividad para los pares de puntos ya comentados:

No se pudo entender (error léxico): \vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OA}=\vec{v}_A\cdot\overrightarrow{OA}\,\,\,\rightarrow\,\,\, (v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{\imath}=[\,\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}\,\]\cdot\vec{\imath}\,\,\,\rightarrow\,\,\,v_x=1
No se pudo entender (error léxico): \vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OB}=\vec{v}_B\cdot\overrightarrow{OB}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, (v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{\jmath}=[\,(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}\,\]\cdot\vec{\jmath}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_y=1
No se pudo entender (error léxico): \vec{v}_O\cdot\overrightarrow{OC}=\vec{v}_C\cdot\overrightarrow{OC}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\, (v_x\,\vec{\imath}+v_y\,\vec{\jmath}+v_z\,\vec{k}\,)\cdot\vec{k}=[\,(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}\,\]\cdot\vec{k}\,\,\,\Longrightarrow\,\,\,v_z=1

Por tanto, la velocidad del punto O\, es:


\vec{v}_O=(\vec{\imath}+\vec{\jmath}+\vec{k}\,)\,\mathrm{m/s}

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