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No Boletín - Tres velocidades con tres parámetros n, p y q (Ex.Ene/12)

De Laplace

1 Enunciado

En un instante dado, las posiciones y velocidades de tres puntos de un sólido rígido respecto a un triedro cartesiano OXYZ son las siguientes:

Punto \vec{r} (m) \vec{v} (m/s)
A \vec{\imath} \vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}
B \vec{\jmath} (1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}
C \vec{k} (1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}
  1. Verifique que estos datos son compatibles con la rigidez del sólido independientemente de los valores de n\,, p\, y q\,.
  2. Determine la velocidad instantánea del punto O\, del sólido que se halla en el origen de coordenadas.
  3. ¿Para qué valores particulares de n\,, p\, y q\, estaría el sólido realizando una traslación instantánea?
  4. Halle el vector velocidad angular y la velocidad de deslizamiento del sólido en función de n\,, p\, y q\,.
  5. Determine qué condiciones matemáticas deberían cumplir n\,, p\, y q\, para que el sólido estuviera realizando un movimiento helicoidal instantáneo cuyo EIRMD pasara por el origen de coordenadas. ¿Qué valor tendría en tal caso la velocidad de deslizamiento?

2 Compatibilidad con la rigidez

La condición cinemática de rigidez consiste en la equiproyectividad del campo de velocidades:

\vec{v}_P\cdot\overrightarrow{PQ}=\vec{v}_Q\cdot\overrightarrow{PQ}

Sometiendo a examen a cada par de puntos:

No se pudo entender (error de sintaxis): \overrightarrow{AB}=-\vec{\imath}+\vec{\jmath}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AB}=[\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})=n \\ \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{AB}=[(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{\jmath})=n\right. \overrightarrow{AC}=-\vec{\imath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_A\cdot\overrightarrow{AC}=[\vec{\imath}+(1+n)\,\vec{\jmath}+(1-p)\,\vec{k}]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k})=-p \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{AC}=[(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}]\cdot(-\vec{\imath}+\vec{k})=-p\right. \overrightarrow{BC}=-\vec{\jmath}+\vec{k}\,\,\,\,\,\left\{\begin{array}{l} \vec{v}_B\cdot\overrightarrow{BC}=[(1-n)\,\vec{\imath}+\vec{\jmath}+(1+q)\,\vec{k}]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k})=q \\ \vec{v}_C\cdot\overrightarrow{BC}=[(1+p)\,\vec{\imath}+(1-q)\,\vec{\jmath}+\vec{k}]\cdot(-\vec{\jmath}+\vec{k})=q\right.

se comprueba que se verifica la condición independientemente de los valores de n, p y q.

Obtenido de "http://laplace.us.es/wiki/index.php/No_Bolet%C3%ADn_-_Tres_velocidades_con_tres_par%C3%A1metros_n,_p_y_q_(Ex.Ene/12)"

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