No Boletín - Celeridad media de un vehículo (Ex.Ene/12)

Enunciado

Un automóvil recorre cierto trayecto del siguiente modo: la mitad de su longitud con celeridad constante de 120 km/h, y la otra mitad con celeridad constante de 60 km/h. ¿Cuál ha sido su celeridad media en el recorrido total?

Solución

Si llamamos $L\,$ a la longitud total del trayecto, y $t\,$ al tiempo total empleado por el automóvil en recorrerlo, la celeridad media en el recorrido total es el cociente:

$\left\langle v\right\rangle ={\frac {L}{t}}$

Pero sabemos que la primera mitad de esa longitud se ha recorrido con una celeridad constante de $v_{1}\,$ = 120 km/h. ¿Qué tiempo $t_{1}$ habrá invertido el automóvil en recorrer esa primera mitad? La respuesta es inmediata dado que sabemos que la celeridad ha sido constante:

$v_{1}={\frac {L/2}{t_{1}}}\,\,\Longrightarrow \,\,t_{1}={\frac {L}{2v_{1}}}$

¿Y qué tiempo $t_{2}$ habrá invertido el automóvil en recorrer la segunda mitad de la longitud del trayecto a una celeridad constante de $v_{2}\,$ = 60 km/h? Pues:

$v_{2}={\frac {L/2}{t_{2}}}\,\,\Longrightarrow \,\,t_{2}={\frac {L}{2v_{2}}}$

Entonces, teniendo en cuenta que $t=t_{1}+t_{2}\,$ y sustituyendo en la expresión inicial, obtenemos la celeridad media:

$\left\langle v\right\rangle ={\frac {L}{t}}={\frac {L}{t_{1}+t_{2}}}={\frac {L}{\displaystyle {\frac {L}{2v_{1}}}+\displaystyle {\frac {L}{2v_{2}}}}}={\frac {L}{\displaystyle {\frac {L}{2}}\left(\displaystyle {\frac {1}{v_{1}}}+\displaystyle {\frac {1}{v_{2}}}\right)}}={\frac {2\,v_{1}v_{2}}{v_{1}+v_{2}}}=80\,{\mbox{km/h}}$

Este resultado también se puede escribir en la forma más simétrica

${\frac {1}{\langle v\rangle }}={\frac {1}{2}}\left({\frac {1}{v_{1}}}+{\frac {1}{v_{2}}}\right)$

es decir, la media aritmética de las inversas de las celeridades es la inversa de la celeridad media.