No Boletín - Celeridad, aceleración tangencial y radio de curvatura (Ex.Nov/12)

Enunciado

En el plano OXY, una partícula $\,P\,$ recorre la trayectoria:

${\overrightarrow {OP}}\equiv {\vec {r}}(\psi )=R\,[1+\mathrm {cos} (\psi )\,]\,{\vec {\imath }}\,+R\,[\psi +\mathrm {sen} (\psi )\,]\,{\vec {\jmath }}$     ($R\,$ es una constante conocida)

siguiendo la ley horaria:

$\psi (t)=\omega _{0}t\,$    ($\omega _{0}\,$ es otra constante conocida)

Las tres preguntas siguientes se refieren al instante en el que $\,\psi =(\pi /3)\,\mathrm {rad}$.

1. ¿Cuál es la celeridad de la partícula en dicho instante?
2. ¿Cuánto vale la componente tangencial de la aceleración en dicho instante?
3. ¿Cuál es el radio de curvatura de la trayectoria en dicho instante?

Velocidad y aceleración en el instante analizado

Sustituyendo la ley horaria $\,\psi (t)\,$ en la ecuación vectorial ($\psi$-paramétrica) de la trayectoria, obtenemos la ecuación horaria del movimiento de $\,P\,$:

${\vec {r}}(t)=R\,[1+\mathrm {cos} (\omega _{0}t)\,]\,{\vec {\imath }}+\!R\,[\,\omega _{0}t+\mathrm {sen} (\omega _{0}t)\,]\,{\vec {\jmath }}$

Derivando el vector de posición de la partícula respecto al tiempo una y dos veces, obtenemos -respectivamente- la velocidad y la aceleración en función del tiempo:

${\vec {v}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {r}}}{\mathrm {d} t}}=\omega _{0}R\,\{-\mathrm {sen} (\omega _{0}t)\,{\vec {\imath }}\,+\,[1+\,\mathrm {cos} (\omega _{0}t)\,]\,{\vec {\jmath }}\,\,\}\,\,;\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}(t)={\frac {\mathrm {d} {\vec {v}}}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}^{2}R\,[\,\mathrm {cos} (\omega _{0}t)\,{\vec {\imath }}\,+\,\mathrm {sen} (\omega _{0}t)\,{\vec {\jmath }}\,\,]$

Y evaluando para el instante en el que $\,\psi =\omega _{0}t=(\pi /3)\,\mathrm {rad} \,$, obtenemos los correspondientes valores de la velocidad y la aceleración:

${\vec {v}}=-{\frac {{\sqrt {3}}\,\omega _{0}R}{2}}\,({\vec {\imath }}-\!{\sqrt {3}}\,{\vec {\jmath }}\,)\,\,;\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,\,{\vec {a}}=-{\frac {\omega _{0}^{2}R}{2}}\,({\vec {\imath }}+\!{\sqrt {3}}\,{\vec {\jmath }}\,)$

Celeridad

La celeridad en el citado instante es el módulo de la velocidad:

$v=|{\vec {v}}\,|={\frac {{\sqrt {3}}\,\omega _{0}R}{2}}\,{\sqrt {1^{2}+(-{\sqrt {3}})^{2}}}={\sqrt {3}}\,\omega _{0}R$

Aceleración tangencial

La aceleración tangencial en el instante estudiado puede calcularse a partir de la velocidad y la aceleración mediante la fórmula:

$a_{t}={\frac {{\vec {v}}\cdot {\vec {a}}}{v}}=\left(-{\frac {{\sqrt {3}}\,\omega _{0}R}{2}}\right)\left(-{\frac {\omega _{0}^{2}R}{2}}\right){\frac {({\vec {\imath }}-\!{\sqrt {3}}\,{\vec {\jmath }}\,)\cdot ({\vec {\imath }}+\!{\sqrt {3}}\,{\vec {\jmath }}\,)}{{\sqrt {3}}\,\omega _{0}R}}=-{\frac {1}{2}}\,\omega _{0}^{2}R$

NOTA: La aceleración tangencial también puede calcularse como derivada temporal de la celeridad, pero para ello necesitamos determinar previamente la celeridad como función del tiempo. Nótese que la celeridad que se nos pidió y calculamos en el apartado anterior fue la celeridad en un instante concreto. Por eso, sería un disparate tratar de calcular la aceleración tangencial derivando respecto al tiempo la "celeridad constante" del apartado anterior, ya que no se trata en realidad de una "función constante" sino del valor que toma una función en un instante concreto.

Veamos pues cómo se calcularía correctamente la aceleración tangencial mediante derivación temporal de la celeridad. Determinamos en primer lugar la celeridad como función del tiempo:

${\begin{array}{rcl}v&=&|{\vec {v}}(t)|=\omega _{0}R\,|\!-\mathrm {sen} (\omega _{0}t)\,{\vec {\imath }}+[1+\mathrm {cos} (\omega _{0}t)\,]\,{\vec {\jmath }}\,\,|=\omega _{0}R\,{\sqrt {[-\mathrm {sen} (\omega _{0}t)]^{\,2}+[1+\mathrm {cos} (\omega _{0}t)]^{\,2}}}=\\&&\\&=&\omega _{0}R\,{\sqrt {2[1+\mathrm {cos} (\omega _{0}t)]}}=2\,\omega _{0}R\,\mathrm {cos} \left(\omega _{0}t/2\right)\end{array}}$

Y ahora la derivamos respecto al tiempo para obtener la aceleración tangencial en función del tiempo:

$a_{t}(t)={\frac {\mathrm {d} v}{\mathrm {d} t}}=-\omega _{0}^{2}R\,\mathrm {sen} \left(\omega _{0}t/2\right)$

Finalmente, evaluando esta función para el instante en el que $\,\omega _{0}t=(\pi /3)\,\mathrm {rad} \,$, obtenemos el valor solicitado de la aceleración tangencial:

$a_{t}=-\omega _{0}^{2}R\,\mathrm {sen} \left(\pi /6\right)=-{\frac {1}{2}}\,\omega _{0}^{2}R$

Radio de curvatura

Calculamos ahora la aceleración normal de la partícula en el instante analizado:

$a_{n}={\sqrt {|\,{\vec {a}}\,|^{2}-(a_{t})^{2}}}={\sqrt {(\omega _{0}^{2}R)^{2}-\left(-{\frac {1}{2}}\,\omega _{0}^{2}R\right)^{\!2}}}=\omega _{0}^{2}R\,{\sqrt {1-{\frac {1}{4}}}}={\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\omega _{0}^{2}R$

donde hemos introducido el valor del módulo de la aceleración:

$|\,{\vec {a}}\,|={\frac {\omega _{0}^{2}R}{2}}\,{\sqrt {1^{2}+({\sqrt {3}})^{2}}}=\omega _{0}^{2}R$

Y a partir de la aceleración normal y la celeridad, obtenemos el valor del radio de curvatura en el instante objeto de estudio:

$R_{\kappa }={\frac {v^{2}}{a_{n}}}={\frac {({\sqrt {3}}\,\omega _{0}R)^{2}}{\displaystyle {\frac {\sqrt {3}}{2}}\,\omega _{0}^{2}R}}=2{\sqrt {3}}\,R$