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No Boletín - Anilla ensartada en dos varillas (Ex.Nov/10)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Una pequeña anilla P se encuentra ensartada en la intersección de dos barras giratorias. Los extremos fijos de las barras distan una cantidad L y giran en el mismo sentido con la misma velocidad angular de módulo constante Ω de forma que describen los ángulos indicados en la figura:

Archivo:anilla-dos-varillas.png
  1. ¿Cuáles son las ecuaciones horarias de P?
  2. ¿Qué clase de trayectoria describe?
  3. ¿Qué tipo de movimiento realiza?

2 Ecuaciones horarias

2.1 Método directo

La forma más directa de obtener las ecuaciones horarias es observando que el ángulo que forman las dos varillas en P es recto.

Para ver que es así, notamos que el ángulo que la varilla de la derecha forma con la sentido negativo del eje OX es el complementario de θ, esto es

\varphi=\frac{\pi}{2}-\theta

Por otro lado, como los ángulos de un triángulo suman π, el ángulo β que forman las varillas en P es igual a

\beta = \pi-\theta-\phi = \pi - \theta - \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \frac{\pi}{2}

Una vez que sabemos que se trata de un triángulo rectángulo, la obtención de las ecuaciones horarias es inmediata.

La distancia r = |\overrightarrow{OP}| es el cateto contiguo del triángulo, respecto al ángulo en O, por tanto

r = |\overrightarrow{OP}| = L\cos(\theta)=L\cos(\Omega t)

Una vez que tenemos esta distancia, proyectamos sobre los ejes cartesianos, para obtener las dos coordenadas

x = r\cos(\theta) = L\cos^2(\Omega t)\,        y = r\,\mathrm{sen}(\theta) = L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)

o, en forma vectorial,

\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}

2.2 Método alternativo

Supongamos que la idea de medir el ángulo en P no es inmediata, ¿no pueden hallarse las ecuaciones horarias de una manera más sistemática? Por supuesto que sí. Sean x e y las coordenadas cartesianas del punto P y sea r la distancia entre O y P. Se cumple

x = r \cos(\theta) = r \cos(\Omega t)\,        y = r\,\mathrm{sen}(\theta) = r\,\mathrm{sen}(\Omega t)

con r = r(t) una función que hay que determinar. Obtenemos esta función observando que la varilla de la derecha forma un ángulo Ωt con la vertical y por tanto

\frac{L-x}{y}=\mathrm{tg}(\Omega t)

Sustituyendo

\frac{L-r\cos(\Omega t)}{r\,\mathrm{sen}(\Omega t)} = \mathrm{tg}(\Omega t)   \Rightarrow   L - r\cos(\Omega t) = r \frac{\mathrm{sen}^2(\Omega t)}{\cos(\Omega t)}   \Rightarrow   r\left(\cos^2(\Omega t)+\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right) = L \cos(\Omega t)   \Rightarrow   r = L \cos(\Omega t)\,

y una vez que tenemos r(t) tenemos las ecuaciones horarias:

\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}

3 Trayectoria

Una vez que tenemos las ecuaciones horarias, ya poseemos una parametrización de la trayectoria (usando el tiempo como variable). No obstante, es de interés el determinar si esta trayectoria posee una ecuación reconocible.

3.1 Arco capaz

Una vez que se sabe que el ángulo que forman las varillas en P es recto, es inmediato que la trayectoria es circular. Tal como se ve en el problema del arco capaz, cuando tenemos dos segmentos \overrightarrow{OP} y \overrightarrow{AP} que son siempre perpendiculares en P, entonces, si C es el punto medio entre O y A, la distancia entre C y P cumple

|\overrightarrow{CP}|=\frac{L}{2} = \mathrm{cte}

y por tanto P describe un movimiento circular sobre una circunferencia de radio L / 2 centrada en C, el punto medio de O y A

3.2 Ecuaciones implícitas

Si no se conocen las propiedades de un arco capaz, puede identificarse la trayectoria obteniendo unas ecuaciones implícitas de ella a partir de las ecuaciones horarias

Vimos anteriormente que la distancia OP cumple

\sqrt{x^2+y^2}= r = |\overrightarrow{OP}| = L\cos(\Omega t)

y que las coordenadas cartesianas del punto P valen

x = L \cos^2(\Omega t)\,        y = Lcos(Ωt)en(Ωt)

Entonces es inmediato que

x^2 +y^2 = r^2 = L^2\cos^2(\Omega t) = Lx\,

La ecuación

x^2 - L x + y^2 = 0\,

representa una circunferencia en el plano OXY en el que se encuentra la partícula. Obtenemos su centro y su radio completando cuadrados

x^2  - L x + \frac{L^2}{4}+y^2 = \frac{L^2}{4}   \Rightarrow   \left(x-\frac{L}{2}\right)^2+y^2 = \left(\frac{L}{2}\right)^2

por lo que el centro de la circunferencia y su radio son

\vec{r}_c = \frac{L}{2}\vec{\imath}        R = \frac{L}{2}

4 Tipo de movimiento

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