No Boletín - Anilla ensartada en dos varillas (Ex.Nov/10)

De Laplace

Revisión a fecha de 10:25 6 nov 2010; Antonio (Discusión | contribuciones)

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Contenido

1 Enunciado
2 Ecuaciones horarias
- 2.1 Método directo
- 2.2 Método alternativo
3 Trayectoria
4 Tipo de movimiento

1 Enunciado

Una pequeña anilla $P$ se encuentra ensartada en la intersección de dos barras giratorias. Los extremos fijos de las barras distan una cantidad $L$ y giran en el mismo sentido con la misma velocidad angular de módulo constante $Ω$ de forma que describen los ángulos indicados en la figura:

¿Cuáles son las ecuaciones horarias de $P$ ?
¿Qué clase de trayectoria describe?
¿Qué tipo de movimiento realiza?

2 Ecuaciones horarias

2.1 Método directo

La forma más directa de obtener las ecuaciones horarias es observando que el ángulo que forman las dos varillas en P es recto.

Para ver que es así, notamos que el ángulo que la varilla de la derecha forma con la sentido negativo del eje OX es el complementario de $θ$ , esto es

$\varphi=\frac{\pi}{2}-\theta$

Por otro lado, como los ángulos de un triángulo suman $π$ , el ángulo $β$ que forman las varillas en P es igual a

$\beta = \pi-\theta-\phi = \pi - \theta - \left(\frac{\pi}{2}-\theta\right) = \frac{\pi}{2}$

Una vez que sabemos que se trata de un triángulo rectángulo, la obtención de las ecuaciones horarias es inmediata.

La distancia $r = |\overrightarrow{OP}|$ es el cateto contiguo del triángulo, respecto al ángulo en O, por tanto

$r = |\overrightarrow{OP}| = L\cos(\theta)=L\cos(\Omega t)$

Una vez que tenemos esta distancia, proyectamos sobre los ejes cartesianos, para obtener las dos coordenadas

$x = r\cos(\theta) = L\cos^2(\Omega t)\,$ $y = r\,\mathrm{sen}(\theta) = L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)$

o, en forma vectorial,

$\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}$

2.2 Método alternativo

Supongamos que la idea de medir el ángulo en P no es inmediata, ¿no pueden hallarse las ecuaciones horarias de una manera más sistemática? Por supuesto que sí. Sean $x$ e $y$ las coordenadas cartesianas del punto P y sea $r$ la distancia entre O y P. Se cumple

x = r cos(θ) = r cos(Ω t)

$y = r\,\mathrm{sen}(\theta) = r\,\mathrm{sen}(\Omega t)$

con $r = r (t)$ una función que hay que determinar. Obtenemos esta función observando que la varilla de la derecha forma un ángulo $Ω t$ con la vertical y por tanto

$\frac{L-x}{y}=\mathrm{tg}(\Omega t)$

Sustituyendo

$\frac{L-r\cos(\Omega t)}{r\,\mathrm{sen}(\Omega t)} = \mathrm{tg}(\Omega t)$ $\Rightarrow$ $L - r\cos(\Omega t) = r \frac{\mathrm{sen}^2(\Omega t)}{\cos(\Omega t)}$ $\Rightarrow$ $r\left(\cos^2(\Omega t)+\mathrm{sen}^2(\Omega t)\right) = L \cos(\Omega t)$ $r = L \cos(\Omega t)\,$

y una vez que tenemos r(t) tenemos las ecuaciones horarias:

$\vec{r}(t) = L\cos^2(\Omega t)\vec{\imath}+L\cos(\Omega t)\mathrm{sen}(\Omega t)\vec{\jmath}$

3 Trayectoria

4 Tipo de movimiento

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1 Enunciado

2 Ecuaciones horarias

2.1 Método directo

2.2 Método alternativo

3 Trayectoria

4 Tipo de movimiento

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