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Movimiento elíptico de partícula con barra y resorte

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Apartado 1)
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==Solución==
==Solución==
===Apartado 1===
===Apartado 1===
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Puesto que las ecuaciones de movimiento de la partícula son un dato del problema, podemos determinar su posición <math>\ \mathbf{r}(t)</math>, velocidad <math>\ \mathbf{v}(t)</math>, en cualquier momento:
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Puesto que las ecuaciones de movimiento de la partícula son un dato del problema, podemos determinar su posición <math>\ \mathbf{r}(t)</math>, velocidad <math>\ \mathbf{v}(t)</math>, y aceleración <math>\ \mathbf{a}(t)</math>, en cualquier instante de tiempo:
<center><math>\displaystyle\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\longrightarrow\qquad\mathbf{r}_0=\mathbf{r}(t=0)=\sqrt{2}a\ \mathbf{i}</math></center>
<center><math>\displaystyle\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\longrightarrow\qquad\mathbf{r}_0=\mathbf{r}(t=0)=\sqrt{2}a\ \mathbf{i}</math></center>
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<center><math>\displaystyle\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=a \omega \left[-\sqrt{2}\ \mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{i}+ \cos(\omega t)\ \mathbf{j}\right]</math>{{qquad}}<math>\longrightarrow</math>{{qquad}}<math style="border:solid green 2px;padding:10px">\mathbf{v}_0=\mathbf{v}(t=0)=\sqrt{2} a \omega\  \mathbf{j}</math></center>
<center><math>\displaystyle\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=a \omega \left[-\sqrt{2}\ \mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{i}+ \cos(\omega t)\ \mathbf{j}\right]</math>{{qquad}}<math>\longrightarrow</math>{{qquad}}<math style="border:solid green 2px;padding:10px">\mathbf{v}_0=\mathbf{v}(t=0)=\sqrt{2} a \omega\  \mathbf{j}</math></center>
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<center><math>\displaystyle\mathbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=-a \omega^2 \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+ \mathrm{sen}(\omega t)\ \mathbf{j}\right]</math></center>
[[Categoría:Problemas de examen F1 GIA]]
[[Categoría:Problemas de examen F1 GIA]]

Revisión de 19:50 16 sep 2011

1 Enunciado

Un resorte ideal de longitud natural nula y constante recuperadora desconocida tiene un un extremo fijado en el punto \ O y el otro en una partícula material \ P de masa m\ que, bajo la acción del resorte, describe una trayectoria elíptica en el plano OXY\ dada por las ecuaciones horarias

\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]

iniciándose el movimiento en el instante t = 0\ . Además, una barra de longitud l\ (siendo l>\sqrt{2}a) y masa despreciable, en cuyo extremo se encuentra la partícula, sirve de guía al resorte, siendo siempre colineal con él.

  1. Determine el valor de la constante recuperadora del resorte y la velocidad de la partícula P\ en el instante inicial, así como su momento cinético y su energía mecánica en cualquier instante de tiempo.
  2. Obtenga la expresión de las componentes intrínsecas de la velocidad y la aceleración de la partícula en cualquier instante de tiempo, así como el radio de curvatura de su trayectoria.
  3. Obtenga la reducción cinemática correspondiente al movimiento de la barra y la derivada temporal de dicha reducción.

2 Solución

2.1 Apartado 1

Puesto que las ecuaciones de movimiento de la partícula son un dato del problema, podemos determinar su posición \ \mathbf{r}(t), velocidad \ \mathbf{v}(t), y aceleración \ \mathbf{a}(t), en cualquier instante de tiempo:

\displaystyle\overrightarrow{OP}=\mathbf{r} (t)=a \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+\mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{j}\right]\qquad\longrightarrow\qquad\mathbf{r}_0=\mathbf{r}(t=0)=\sqrt{2}a\ \mathbf{i}

 

\displaystyle\mathbf{v}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{r}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=a \omega \left[-\sqrt{2}\ \mathrm{sen} (\omega t)\ \mathbf{i}+ \cos(\omega t)\ \mathbf{j}\right]    \longrightarrow    \mathbf{v}_0=\mathbf{v}(t=0)=\sqrt{2} a \omega\  \mathbf{j}

 

\displaystyle\mathbf{a}(t)=\frac{\mathrm{d}\mathbf{v}}{\mathrm{d}t}\bigg\rfloor_{OXY}=-a \omega^2 \left[\sqrt{2}\ \cos (\omega t)\ \mathbf{i}+ \mathrm{sen}(\omega t)\ \mathbf{j}\right]

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