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Movimiento cicloidal (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 50: Línea 50:
<center><math>a_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=A\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)+\frac{A}{2}\dot{\theta}^2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)</math></center>
<center><math>a_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=A\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)+\frac{A}{2}\dot{\theta}^2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)</math></center>
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Otra forma es, primero calculamos el vector tangente (suponiendo que los factores de la rapidez son positivos)
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<center><math>\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{A\dot{\theta}(1-\cos(\theta))}{A\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\left({\theta}/{2}\right)}\vec{\imath}+\frac{A\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)}{A\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\left({\theta}/{2}\right)}\vec{\jmath}</math></center>
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que, con las relaciones trigonométricas anteriores, queda
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<center><math>\vec{T}=\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\imath}+\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\jmath}</math></center>
==Centros de curvatura==
==Centros de curvatura==
==Distancia recorrida==
==Distancia recorrida==
[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (CMR)]]
[[Categoría:Problemas de cinemática de la partícula (CMR)]]

Revisión de 15:49 9 nov 2020

Contenido

1 Enunciado

Un punto exterior de una rueda que rueda sin deslizar describe una cicloide

x=A(\theta-\mathrm{sen}⁡(\theta))\qquad\qquad y=A(1-\cos⁡(\theta))\qquad\qquad z=0
  1. Determine la velocidad y aceleración de la partícula en función de θ y sus derivadas respecto al tiempo. ¿Cuánto valen \vec{v} y \vec{a} en el momento en que el punto se halla en lo más alto de la rueda?
  2. Halle la aceleración tangencial y normal.
  3. Calcule la posición de los centros de curvatura.
  4. Halle la distancia recorrida por el punto cuando la rueda da una vuelta completa.

2 Velocidad y aceleración

Las componentes cartesianas de la velocidad las hallamos aplicando la regla de la cadena

\vec{v}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}t}=\frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}\dot{\theta}

Separando por componentes

\left\{\begin{array}{rcccl}
v_x & = & \dot{x} & = & A\dot{\theta}(1-\cos(\theta))\\
v_y & = & \dot{y} & = & A\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)\\
v_z & = & \dot{z} & = & 0\end{array}\right.

Derivando de nuevo obtenemos la aceleración. Por componentes:

\left\{\begin{array}{rcccl}
a_x & = & \dot{v}_x & = & A\ddot{\theta}(1-\cos(\theta))+A\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}(\theta) \\
a_y & = & \dot{v}_y & = & A\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)+A\dot{\theta}^2\cos(\theta)\\
a_z & = & \dot{v}_z & = & 0\end{array}\right.

El punto más alto del movimiento se encuentra cuando y es máximo. Esto ocurre cuando cos(θ) = − 1, en que y = 2. lo cual sucede cuando cos(θ) = π. Para este valor

\vec{v}=2A\dot{\theta}\vec{\imath}\qquad\qquad \vec{a}=A\ddot{\theta}\vec{\imath}-A\dot{\theta}^2\vec{\jmath}

3 Aceleración tangencial y normal

3.1 Aceleración tangencial

Para hallar la aceleración tangencial calculamos en primer lugar el vector tangente. Para ello, necesitamos la rapidez del movimiento

|\vec{v}|=\sqrt{A^2\dot{\theta}^2(1-\cos(\theta))^2+A^2\dot{\theta}^2\mathrm{sen}^2(\theta)}=|A\dot{\theta}|\sqrt{2-2\cos(\theta)}

Este resultado se simplfica empleando las relaciones trigonométricas

1-\cos(\theta)=2\,\mathrm{sen}^2\left(\frac{\theta}{2}\right)\qquad\qquad\mathrm{sen}(\theta)=2\,\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)

lo que nos deja la rapidez en

|\vec{v}|=\left|A\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\right|

donde las barras son necesarias, ya que puede ocurrir que alguno de los factores sea negativo.

Si tenemos la rapidez podemos hallar la aceleración tangencial derivando respecto al tiempo. Si suponemos, por simplicidad, que todos los factores son positivos (como ocurriría en una rueda que va avanzando)

a_t=\frac{\mathrm{d}|\vec{v}|}{\mathrm{d}t}=A\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)+\frac{A}{2}\dot{\theta}^2\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)

Otra forma es, primero calculamos el vector tangente (suponiendo que los factores de la rapidez son positivos)

\vec{T}=\frac{\vec{v}}{|\vec{v}|}=\frac{A\dot{\theta}(1-\cos(\theta))}{A\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\left({\theta}/{2}\right)}\vec{\imath}+\frac{A\dot{\theta}\,\mathrm{sen}(\theta)}{A\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\left({\theta}/{2}\right)}\vec{\jmath}

que, con las relaciones trigonométricas anteriores, queda

\vec{T}=\mathrm{sen}\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\imath}+\cos\left(\frac{\theta}{2}\right)\vec{\jmath}

4 Centros de curvatura

5 Distancia recorrida

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