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Masas unidas por una cuerda con muelle, Octubre 2019 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

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Pedro (Discusión | contribuciones)
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Revisión de 10:05 9 nov 2019

Contenido

1 Enunciado

La masa m1 de la figura está engarzada en un hilo horizontal sin rozamiento. La masa m2 desliza sobre una superficie horizontal también lisa. La distancia entre las líneas horizontales es h = 3d0. Las dos masas están unidas por una cuerda ideal sin masa de longitud L = 5d0. La cuerda está siempre tensa. La gravedad actúa como se indica en la figura. La masa m2 está a su vez unida a un muelle de longitud natural nula y constate elástica k. El otro extremo del muelle está anclado en el punto O. La masa m1 está sometida a la acción de una fuerza horizontal \vec{F} = F\,\vec{\imath}.

  1. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúa sobre cada partícula.
  2. Calcula el vector de posición de la partícula 1.
  3. En situación de equilibrio estático, encuentra la tensión de la cuerda y la fuerza que la superficie horizontal ejerce sobre la masa m2.
  4. Supongamos ahora que el contacto entre la masa m2 y la superficie horizontal es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático μ = 2. Además, la masa m2 se ajusta para que m2g = F. ¿Qué condición debe cumplir F para que el punto A2 de coordenada x2 = d0 sea un punto de equilibrio estático?

2 Solución

2.1 Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada partícula. Vamos a expresar estas fuerzas en el sistema de ejes de la figura. Para la partícula 1 tenemos


\begin{array}{l}
\vec{F} = F\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_1 = -m_1g\,\vec{\jmath}\\
\vec{N}_1 = N_1\,\vec{\jmath},\\
\vec{T}_1 = -T\cos\beta\,\vec{\imath} - T\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}.
\end{array}

Para la partícula 2 tenemos


\begin{array}{l}
\vec{T}_2 = -\vec{T}_1 = T\cos\beta\,\vec{\imath} + T\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_k = -kx_2\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_2 = -m_2g\,\vec{\jmath}\\
\vec{N}_2 = N_2\,\vec{\jmath},\\
\end{array}

El ángulo β es


\mathrm{sen}\,\beta = \dfrac{h}{L} = \dfrac{3}{5}
\Longrightarrow
\cos\beta = \sqrt{1-\mathrm{sen}^2\,\beta} = \dfrac{4}{5}.

2.2 Vector de posición de la partícula 1

Observando el dibujo vemos que


\overrightarrow{OP}_1 = \overrightarrow{OP}_2 + \overrightarrow{P_1P}_2 = (x_2 + 4d_0)\,\vec{\imath} + 3d_0\,\vec{\jmath}.

2.3 Valor de las fuerzas en equilibrio estático

Para que haya equilibrio estático la suma de fuerzas sobre cada masa debe ser nula. Para la partícula 1 tenemos


\vec{F} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & F - \dfrac{4}{5}T = 0, & (1)\\
Y) & \to & -m_1g + N_1 - \dfrac{3}{5}T = 0. & (2)
\end{array}
\right.

Para la partícula 2 tenemos


\vec{F}_k + \vec{P}_2 + \vec{N}_2 + \vec{T}_2 = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & -kx_2 + \dfrac{4}{5}T = 0, & (1)\\
Y) & \to & -m_2g + N_2 + \dfrac{3}{5}T = 0. & (2)
\end{array}
\right.

Resolviendo obtenemos


x_2 = \dfrac{F}{k}\,\qquad T = \dfrac{5}{4}F, \qquad N_1 = m_1g + \dfrac{3}{4}F,\qquad N_2 = m_2g - \dfrac{3}{4}F.

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