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Masas unidas por una cuerda con muelle, Octubre 2019 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Análisis con rozamiento)
 
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[[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]]

última version al 11:10 10 nov 2019

Contenido

1 Enunciado

La masa m1 de la figura está engarzada en un hilo horizontal sin rozamiento. La masa m2 desliza sobre una superficie horizontal también lisa. La distancia entre las líneas horizontales es h = 3d0. Las dos masas están unidas por una cuerda ideal sin masa de longitud L = 5d0. La cuerda está siempre tensa. La gravedad actúa como se indica en la figura. La masa m2 está a su vez unida a un muelle de longitud natural nula y constate elástica k. El otro extremo del muelle está anclado en el punto O. La masa m1 está sometida a la acción de una fuerza horizontal \vec{F} = F\,\vec{\imath}.

  1. Dibuja el diagrama de fuerzas que actúa sobre cada partícula.
  2. Calcula el vector de posición de la partícula 1.
  3. En situación de equilibrio estático, encuentra la tensión de la cuerda y la fuerza que la superficie horizontal ejerce sobre la masa m2.
  4. Supongamos ahora que el contacto entre la masa m2 y la superficie horizontal es rugoso con un coeficiente de rozamiento estático μ = 2. Además, la masa m2 se ajusta para que m2g = F. ¿Qué condición debe cumplir F para que el punto A2 de coordenada x2 = d0 sea un punto de equilibrio estático?

2 Solución

2.1 Diagrama de fuerzas

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada partícula. Vamos a expresar estas fuerzas en el sistema de ejes de la figura. Para la partícula 1 tenemos


\begin{array}{l}
\vec{F} = F\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_1 = -m_1g\,\vec{\jmath}\\
\vec{N}_1 = N_1\,\vec{\jmath},\\
\vec{T}_1 = -T\cos\beta\,\vec{\imath} - T\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}.
\end{array}

Para la partícula 2 tenemos


\begin{array}{l}
\vec{T}_2 = -\vec{T}_1 = T\cos\beta\,\vec{\imath} + T\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_k = -kx_2\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_2 = -m_2g\,\vec{\jmath}\\
\vec{N}_2 = N_2\,\vec{\jmath}.\\
\end{array}

El ángulo β es


\mathrm{sen}\,\beta = \dfrac{h}{L} = \dfrac{3}{5}
\Longrightarrow
\cos\beta = \sqrt{1-\mathrm{sen}^2\,\beta} = \dfrac{4}{5}.

2.2 Vector de posición de la partícula 1

Observando el dibujo vemos que


\overrightarrow{OP}_1 = \overrightarrow{OP}_2 + \overrightarrow{P_1P}_2 = (x_2 + 4d_0)\,\vec{\imath} + 3d_0\,\vec{\jmath}.

2.3 Valor de las fuerzas en equilibrio estático

Para que haya equilibrio estático la suma de fuerzas sobre cada masa debe ser nula. Para la partícula 1 tenemos


\vec{F} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & F - \dfrac{4}{5}T = 0, & (1)\\
Y) & \to & -m_1g + N_1 - \dfrac{3}{5}T = 0. & (2)
\end{array}
\right.

Para la partícula 2 tenemos


\vec{F}_k + \vec{P}_2 + \vec{N}_2 + \vec{T}_2 = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & -kx_2 + \dfrac{4}{5}T = 0, & (3)\\
Y) & \to & -m_2g + N_2 + \dfrac{3}{5}T = 0. & (4)
\end{array}
\right.

Resolviendo obtenemos


x_2 = \dfrac{F}{k}\,\qquad T = \dfrac{5}{4}F, \qquad N_1 = m_1g + \dfrac{3}{4}F,\qquad N_2 = m_2g - \dfrac{3}{4}F.

2.4 Análisis con rozamiento

Al incluir el rozamiento debemos añadir una fuerza actuando sobre la partícula 2. La figura de la derecha muestra el diagrama de fuerzas para esta situación. Las fuerzas sobre la partícula 1 tienen las mismas expresiones que antes


\begin{array}{l}
\vec{F} = F\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_1 = -m_1g\,\vec{\jmath}\\
\vec{N}_1 = N_1\,\vec{\jmath},\\
\vec{T}_1 = -T\cos\beta\,\vec{\imath} - T\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath}.
\end{array}

Para la partícula 2


\begin{array}{l}
\vec{T}_2 = -\vec{T}_1 = T\cos\beta\,\vec{\imath} + T\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_k = -kx_2\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_2 = -m_2g\,\vec{\jmath}\\
\vec{N}_2 = N_2\,\vec{\jmath},\\
\vec{F}_R = f\,\vec{\imath}.
\end{array}

Aplicamos de nuevo la condición de equilibrio estático a cada partícula. La diferencia es que tenemos una incógnita mas, la magnitud de la fuerza de rozamiento. Pero ahora la posición de la partícula 2 es un dato. x2 = d0Para la partícula 1 tenemos


\vec{F} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1 = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & F - \dfrac{4}{5}T = 0, & (5)\\
Y) & \to & -m_1g + N_1 - \dfrac{3}{5}T = 0. & (6)
\end{array}
\right.

Para la partícula 2 tenemos


\vec{F}_k + \vec{P}_2 + \vec{N}_2 + \vec{T}_2 + \vec{F}_R = \vec{0}
\Longrightarrow
\left\{
\begin{array}{lclr}
X) & \to & -kd_0 + \dfrac{4}{5}T + f= 0, & (7)\\
Y) & \to & -m_2g + N_2 + \dfrac{3}{5}T = 0. & (8)
\end{array}
\right.

Resolviendo obtenemos


f = kd_0-F, \qquad N2 = \dfrac{4m_2g-3F}{4}, \qquad N_1 = \dfrac{4m_1g+3F}{4}, \qquad T = \dfrac{5}{4}F.

Utilizando la condición dada por el enunciado m2g = F, obtenemos para las fuerzas normal y de rozamiento sobre la partícula 2


\vec{N}_2 = \dfrac{1}{4}F\,\vec{\jmath}, \qquad \vec{F}_R = (kd_0 - F)\,\vec{\imath}.

La condición de no deslizamiento es


|\vec{F}_R| \leq \mu|\vec{N}|
\Longrightarrow
|kd_0-F| \leq \mu F/4.

Si utilizamos el valor del enunciado μ = 2 la condición queda


|kd_0-F| \leq F/2.

Podemos considerar dos situaciones aquí. Por un lado


kd_0>F \to |kd_0-F| = kd_0-F \to kd_0-F < F/2 \to kd_0 < 3F/2 \to F > 2kd_0/3.

Por el otro


kd_0<F \to |kd_0-F| = -kd_0+F \to -kd_0+F < F/2 \to F/2 < kd_0 \to F < 2kd_0.

Por tanto, la condición que debe cumplir la fuerza para que no haya deslizamiento es


F\in \left[\dfrac{2}{3}kd_0, 2kd_0\right].

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