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Masas con cuerda horizontal (Oct. 2019 G.I.C.)

De Laplace

Contenido

1 Enunciado

Las masas puntuales m1 y m2 se deslizan sin rozamiento sobre una superficie horizontal. Las masas están unidas por una cuerda ideal, inextensible y sin masa, de longitud L. Una fuerza \vec{F}=F\,\vec{\imath} actúa sobre la masa m1. Las masas se mueven de modo que la cuerda está siempre tensa.

  1. Calcula la tensión de la cuerda durante el movimiento
  2. Supongamos ahora que las dos masas son iguales, m1 = m2 = m0. En el instante inicial la masa m2 esta en el punto O y la cuerda está completamente estirada. Las dos masas están en reposo en este instante inicial. Ahora la fuerza depende del tiempo como \vec{F}(t) = 12m_0At\,\vec{\imath}, siendo A una constante.
    1. Cuáles son las unidades base de A en el S.I.
    2. ¿Cuál es la posición de la masa m1 en función del tiempo?
    3. En el instante t = tp la partícula 1 se para súbitamente. ¿Cuanto tiempo tarda en chocar con ella la partícula 2?

2 Solución

2.1 Tensión en la cuerda

La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre cada masa. Tenemos que aplicar la Segunda Ley de Newton a cada masa por separado


\begin{array}{l}
m_1\,\vec{a}_1 = \vec{F} + \vec{P}_1 + \vec{N}_1 + \vec{T}_1\\
\\
m_2\,\vec{a}_2 = \vec{P}_2 + \vec{N}_2 + \vec{T}_2
\end{array}

Expresamos los vectores que aparecen aquí en el sistema de ejes de la figura. Para la masa 1 tenemos


\begin{array}{l}
\vec{a}_1 = a\,\vec{\imath},\\
\vec{F} = F\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_1 = -m_1g\,\vec{\jmath},\\
\vec{N}_1 = N_1\,\vec{\jmath},\\
\vec{T}_1 = -T\,\vec{\imath},\\
\end{array}

Para la masa 2 tenemos


\begin{array}{l}
\vec{a}_2 = a\,\vec{\imath},\\
\vec{P}_2 = -m_2g\,\vec{\jmath},\\
\vec{N}_2 = N_2\,\vec{\jmath},\\
\vec{T}_2 = T\,\vec{\imath},\\
\end{array}

Hemos usado que la aceleración de las dos masas debe ser la misma y que la tensión de la cuerda es la misma en todos sus puntos, pues no tiene masa. A partir de las expresiones vectoriales de la Segunda Ley de Newton obtenemos cuatro ecuaciones escalares


\begin{array}{lr}
m_1a = F - T, & (1)\\
0 = N_1-m_1g, & (2)\\
m_2a = T, & (3)\\
0 = N_2 - m_2g. & (4)
\end{array}

Sumando las ecuaciones (1) y (3) obtenemos la aceleración de la masa


a = \dfrac{F}{m_1+m_2}.

A partir de (3) obtenemos la tensión en la cuerda


T = \dfrac{m_2}{m_1+m_2}\,F.

Las ecuaciones (2) y (4) nos dan las magnitudes de las fuerzas normales


N_1 = m_1g, \qquad N_2 = m_2g.

2.2 Movimiento con \mathbf{F = 12m_0At}

Durante el movimiento la distancia entre las masas es constante. Entonces, las dos tienen la misma velocidad y aceleración.

Las unidades base de A deben ser tales que la definición de F sea compatible con las unidades de fuerza


[A] = \dfrac{[F]}{[m_0][t]} = \mathrm{\dfrac{N}{kg\cdot s} = \dfrac{kg\cdot m\cdot s^{-2}}{kg\cdot s} = \dfrac{m}{s^3}}.

Introducimos la definición de F en la expresión que nos da la aceleración d elas masas


a = \dfrac{12m_0At}{2m_0} = 6At.

Esta aceleración depende del tiempo. Para obtener la velocidad hay que resolver la ecuación diferencial


\dfrac{\mathrm{d}v}{\mathrm{d}t} = a 
\Longrightarrow
\mathrm{d}v = a\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\mathrm{d}v = 6At\mathrm{d}t

Integrando obtenemos


\int\mathrm{d}v = \int 6At\mathrm{d}t
\Longrightarrow
v = 3At^2 + C

En el instante inicial las masas estaban en reposo. Por tanto


v(0) = 0 \Longrightarrow C = 0.

Es decir, la velocidad de las masas en función del tiempo es

v1 = v2 = 3At2.

Para obtener la coordenada x de cada masa debemos resolver la ecuación diferencial correspondiente. Para la masa m1 tenemos


\dfrac{\mathrm{d}x_1}{\mathrm{d}t} = v_1 
\Longrightarrow
\mathrm{d}x_1 = v_1\mathrm{d}t
\Longrightarrow
\mathrm{d}x_1 = 3At^2\mathrm{d}t

Integrando obtenemos


\int\mathrm{d}x_1 = \int 3At^2\mathrm{d}t
\Longrightarrow
x_1 = At^3 + C

En el instante inicial la cuerda estaba estirada. Por tanto


x_1(0) = L \Longrightarrow C = L.

Es decir

x1 = L + At3.

Procediendo de manera similar para la masa m2 obtenemos

x2 = At3.

2.2.1 Parada súbita de la masa 2

En t = tp la masa m1 se para. En ese instante, la cuerda deja de tirar de la masa m2. Por tanto, la aceleración de m2 es cero a partir de ese instante y se mueve con velocidad constante e igual a la que tenía en tp


v_2 = 3At_p^2.

En t = tp la distancia entre las masas era L. Como la masa 2 se mueve con velocidad uniforme, el tiempo que tarda en chocar con la otra masa es el que tarda en recorrer esa distancia


\Delta t = \dfrac{L}{3At_p^2}.

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