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Inducción en espira rectangular móvil con voltímetro (F2GIA)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
((a) Intensidad y voltaje en la espira antes de entrar en la región magnetizada)
((a) Intensidad y voltaje en la espira antes de entrar en la región magnetizada)
Línea 22: Línea 22:
<center><math>\displaystyle R_{{}_{\partial\Sigma}}=\sum_{i=1}^6 R_i=6\!\ R_i=R  \;\Longrightarrow\; R_i=\rho_{{}_\Omega}\!\ \frac{a}{S}=\frac{R}{6},\;\;\;\;</math> para <math>i=1,\ldots , 6</math>
<center><math>\displaystyle R_{{}_{\partial\Sigma}}=\sum_{i=1}^6 R_i=6\!\ R_i=R  \;\Longrightarrow\; R_i=\rho_{{}_\Omega}\!\ \frac{a}{S}=\frac{R}{6},\;\;\;\;</math> para <math>i=1,\ldots , 6</math>
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De la aplicación de la primera ley de Kirchoff en cada uno de los nodos correspondientes a las conexiones en serie de estas resistencias se obtiene que todas ellas son recorridas por la misma intensidad de corriente eléctrica, que será también la misma que recorre el generador, saliendo por el electrodo positivo de éste y recorriendo el circuito--espira en sentido horario, para el cuál asumiremos que <math>I(t)>0</math>. La aplicación de la segunda ley de Kirchoff en la malla que se corresponde con la espira permite establecer la ecuación del circuito en <math>\partial\Sigma</math>. Como se trata de un circuito cerrado se tiene:
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<center><math>\sum_j \mathcal{E}_j\bigg\rfloor_{{}_{\partial\Sigma}}= \sum_i_1^6 I_i R_i \;\longrightarrow\;\mathcal{E}_0\bigg\rfloor_{{}_{\partial\Sigma}}= I(t)\sum_i_1^6  R_i=R\!\ I(t)\;\Longrightarrow\;</math>{{qquad}}<math style="border:solid red 2px;padding:10px">I(t<0)=\frac{\mathcal{E}_0}{R}</math></center>

Revisión de 11:51 4 jul 2019

1 Enunciado

Una espira rectangular ABCD está formada por cuatro conductores filiformes de igual resistividad y sección, y de longitudes a y 2a, siendo R su resistencia eléctrica total. En el lado corto AB tiene incrustado un generador eléctrico ideal con una f.e.m. constante \mathcal{E}_0, y con sus electrodos conectados de manera que, por sí sola, generaría una corriente eléctrica que recorrería la espira en sentido horario. Además, en los puntos medios de los lados largos, BC y DA, se conectan sendos conductores filiformes rectilíneos de resistencia nula, paralelos a los lados cortos y que terminan en los extremos E y F, muy próximos pero con una pequeña separación entre ellos, que hace que está rama del circuito esté abierta.

La espira se encuentra siempre contenida en el plano OXY, con sus lados cortos AB y CD paralelos al eje OY, y se desplaza con velocidad constante \vec{v}_0=v_0\!\ \vec{\imath}, con v0 = a / T. Inicialmente, la espira se encuentra en una región donde no existe campo magnético, pero a partir del instante que consideramos t = 0, la espira penetra por su lado corto CD en una región donde existe un campo magnético uniforme \vec{B}_0=-B_0\!\ \vec{k}, cuya intensidad se ajusta de manera que se cumpla B_0\!\ a\!\ v_0=\mathcal{E}_0.

(a) Para los instantes anteriores a que la espira entre en la región de campo magnético (t < 0), determine el valor de la intensidad I (medida en sentido horario) de la corriente eléctrica que recorre la espira. Calcule también el valor del voltaje V entre los extremos E y F.
(b) En los instantes de tiempo t > 0, ¿cómo es la señal de intensidad I(t) de la corriente eléctrica que recorre la espira? ¿Y la señal de voltaje V(t) entre los extremos abiertos E y F?
(c) Si se repite el experimento pero conectando los extremos E y F mediante un amperímetro de resistencia nula, ¿cómo sería la señal de intensidad de corriente i(t) que registraría dicho amperímetro en los intervalos de tiempo t < 0 y t > 0?
Archivo:FII_gIA_1acon_18_19_pr.png

2 Solución

2.1 (a) Intensidad y voltaje en la espira antes de entrar en la región magnetizada

Como primer paso, modelaremos el circuito eléctrico del sistema descrito para instantes de tiempo t < 0; es decir, antes de que la espira móvil ABCD entre en la región uniformemente magnetizada, que se corresponde con el semiespacio formado por los puntos P(x,y,z) tales que x < 0. En dicha región, es nulo el flujo magnético a través de cualquier superficie Σ que tuviese como contorno a la espira rectangular. Por tanto, la única fuerza electromotriz existente en la espira ABCD\equiv\partial\Sigma es la \mathcal{E}_0 del generador eléctrico ideal incrustado en el lado AB.

Por otra parte, la espira está formada por cuatro barras rectilíneas y filiformes del mismo material óhmico (cuya resistividad tendrá un valor \rho_{{}_\Omega}), de idéntica sección S y lados iguales dos a dos. Y teniendo en cuenta que los conductores utilizados para medir el voltaje V(t) están conectados a los respectivos centros E^\prime y F^\prime de los lados largos BC y DA, podemos descomponer la espira completa en seis tramos idénticos, filiformes y rectilíneos, también de igual longitud a. En consecuencia, el modelo eléctrico de la espira consistirá en la f.e.m. del generador ideal, conectada a la asociación en serie de seis resistencias eléctricas idénticas R_i=\rho_{{}_\Omega}\!\ a/S, . Y si la resistencia total de la espira es el valor conocido R, se tendrá...

\displaystyle R_{{}_{\partial\Sigma}}=\sum_{i=1}^6 R_i=6\!\ R_i=R  \;\Longrightarrow\; R_i=\rho_{{}_\Omega}\!\ \frac{a}{S}=\frac{R}{6},\;\;\;\; para i=1,\ldots , 6

De la aplicación de la primera ley de Kirchoff en cada uno de los nodos correspondientes a las conexiones en serie de estas resistencias se obtiene que todas ellas son recorridas por la misma intensidad de corriente eléctrica, que será también la misma que recorre el generador, saliendo por el electrodo positivo de éste y recorriendo el circuito--espira en sentido horario, para el cuál asumiremos que I(t) > 0. La aplicación de la segunda ley de Kirchoff en la malla que se corresponde con la espira permite establecer la ecuación del circuito en \partial\Sigma. Como se trata de un circuito cerrado se tiene:

No se pudo entender (La conversión a PNG ha fallado; comprueba que latex, dvips, gs, y convert estén instalados correctamente): \sum_j \mathcal{E}_j\bigg\rfloor_{{}_{\partial\Sigma}}= \sum_i_1^6 I_i R_i \;\longrightarrow\;\mathcal{E}_0\bigg\rfloor_{{}_{\partial\Sigma}}= I(t)\sum_i_1^6 R_i=R\!\ I(t)\;\Longrightarrow\;     I(t<0)=\frac{\mathcal{E}_0}{R}

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