Enunciado

Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante alrededor del eje vertical. Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje =OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano . Con ayuda de este sistema determine y exprese:

  1. Las velocidades angulares , y
  2. La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
  3. Las aceleraciones angulares , y
  4. Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.

Velocidades angulares

Arrastre, {01}

El movimiento del sistema “0&” respecto al 1 es una rotación alrededor del eje . La velocidad angular es de la forma

El valor lo obtenemos de que conocemos la velocidad de G

La posición de G en el sistema 0 es, en todo momento,

Por ello, G es un punto fijo en el movimiento relativo.

por lo que

Esto nos da

y

Absoluta, {21}

Para la absoluta operamos de manera similar. En este caso observamos que puesto que en el punto A y en el B no hay deslizamiento

y, por tanto, el EIR debe pasar por esos dos puntos. La velocidad angular es entonces de la forma

Aplicamos ahora que

De donde

Relativa, {20}

Una vez que tenemos la absoluta y la de arrastre, la relativa es inmediata

lo que da

Ejes instantáneos de rotación

  • El EIR de arrastre {01} pasa por el origen y lleva la dirección de .
  • El EIR absoluto {21} pasa por los puntos A y B.
  • El EIR relativo {20} pasa por G (punto fijo en el movimiento {20}) y lleva la dirección de
    .

Los tres ejes se cortan en el punto que es un punto fijo en los tres movimientos.

Aceleraciones angulares

Las aceleraciones angulares de arrastre y relativa son nulas, por ser constantes las velocidades angulares en ambos movimientos

La velocidad angular absoluta {21} no es constante, aunque lo parezca

ya que los vectores de la base 0 son dependientes del tiempo en el sistema 1.

Aplicamos la ley de composición de velocidades angulares

lo que nos da

Aceleraciones lineales