Esfera en recipiente cilíndrico

Enunciado

Se tiene un sistema formado por un recipiente cilíndrico (sólido “1”) con fondo pero sin tapa, de radio y altura 2R. En el interior de este recipiente se encuentra una esfera maciza homogénea (“sólido 2”) de masa m y radio R. Esta esfera se mueve de forma que rueda sin deslizar en todo momento sobre el fondo y la pared. El centro de la bola se mueve en todo momento con rapidez constante $v_{0}$ alrededor del eje vertical. Tomamos un tercer sistema de referencia intermedio “0”, que gira alrededor del eje ${OZ}_{1}$=OZ_0 de manera que el centro de la esfera siempre se encuentra en el plano ${OX}_{0}Z_{0}$ . Con ayuda de este sistema determine y exprese:

1. Las velocidades angulares ${\vec {\omega }}_{01}$, ${\vec {\omega }}_{21}$ y ${\vec {\omega }}_{20}$
2. La posición de los tres ejes instantáneos de rotación (puede ayudarse de la figura)
3. Las aceleraciones angulares ${\vec {\alpha }}_{01}$, ${\vec {\alpha }}_{20}$ y ${\vec {\alpha }}_{21}$
4. Las aceleraciones lineales de los puntos G (centro de la esfera), A (contacto con el fondo) y B (contacto con la pared) de la esfera 2 respecto al sistema de referencia fijo 1.

Velocidades angulares

Arrastre, {01}

El movimiento del sistema “0&” respecto al 1 es una rotación alrededor del eje $OZ_{1}=OZ_{0}$. La velocidad angular es de la forma

${\vec {\omega }}_{01}=\omega _{01}{\vec {k}}_{0}$

El valor lo obtenemos de que conocemos la velocidad de G

${\vec {v}}_{01}^{G}={\vec {\omega }}_{01}\times {\overrightarrow {OG}}$

La posición de G en el sistema 0 es, en todo momento,

${\overrightarrow {OG}}=R{\vec {\imath }}_{0}+R{\vec {k}}_{0}$

Por ello, G es un punto fijo en el movimiento relativo.

${\vec {v}}_{21}^{G}=\overbrace {{\vec {v}}_{20}^{G}} ^{={\vec {0}}}+{\vec {v}}_{01}^{G}$

por lo que

${\vec {v}}_{01}^{G}=v_{0}{\vec {\jmath }}_{0}$

Esto nos da

$v_{0}{\vec {\jmath }}_{0}=\left(\omega _{01}{\vec {k}}_{0}\right)\times \left(R{\vec {\imath }}_{0}+R{\vec {k}}_{0}\right)=\omega _{01}R{\vec {\jmath }}_{0}$

y

$\omega _{01}={\dfrac {v_{0}}{R}}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{01}={\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}_{0}$

Absoluta, {21}

Para la absoluta operamos de manera similar. En este caso observamos que puesto que en el punto A y en el B no hay deslizamiento

${\vec {v}}_{21}^{A}={\vec {v}}_{21}^{B}={\vec {0}}$

y, por tanto, el EIR debe pasar por esos dos puntos. La velocidad angular es entonces de la forma

${\vec {\omega }}_{21}=\Omega \left({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {k}}_{0}\right)$

Aplicamos ahora que

$v_{0}{\vec {\jmath }}_{0}={\vec {v}}_{21}^{G}={\vec {\omega }}_{21}\times {\overrightarrow {AG}}=\Omega \left({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {k}}_{0}\right)\times \left(R{\vec {k}}_{0}\right)=-\Omega R{\vec {\jmath }}_{0}$

De donde

$\Omega =-{\frac {v_{0}}{R}}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{21}=-{\frac {v_{0}}{R}}\left({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {k}}_{0}\right)$

Relativa, {20}

Una vez que tenemos la absoluta y la de arrastre, la relativa es inmediata

${\vec {\omega }}_{21}={\vec {\omega }}_{20}+{\vec {\omega }}_{01}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {\omega }}_{20}={\vec {\omega }}_{21}-{\vec {\omega }}_{01}$

lo que da

${\vec {\omega }}_{20}=-{\frac {v_{0}}{R}}\left({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {k}}_{0}\right)-{\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}_{0}=-{\frac {v_{0}}{R}}\left({\vec {\imath }}_{0}+2{\vec {k}}_{0}\right)$

Ejes instantáneos de rotación

• El EIR de arrastre {01} pasa por el origen y lleva la dirección de $OZ_{0}$.
• El EIR absoluto {21} pasa por los puntos A y B.
• El EIR relativo {20} pasa por G (punto fijo en el movimiento {20}) y lleva la dirección de $\left({\vec {\imath }}_{0}+2{\vec {k}}_{0}\right)$.

Los tres ejes se cortan en el punto $Q(0,-R)$ que es un punto fijo en los tres movimientos.

Aceleraciones angulares

Las aceleraciones angulares de arrastre y relativa son nulas, por ser constantes las velocidades angulares en ambos movimientos

${\vec {\omega }}_{01}={\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}_{1}\qquad \qquad {\vec {\omega }}_{20}=-{\frac {v_{0}}{R}}\left({\vec {\imath }}_{0}+2{\vec {k}}_{0}\right)$ ${\vec {\alpha }}_{01}={\vec {\alpha }}_{20}={\vec {0}}$

La velocidad angular absoluta {21} no es constante, aunque lo parezca

${\vec {\omega }}_{21}=-{\frac {v_{0}}{R}}\left({\vec {\imath }}_{0}+{\vec {k}}_{0}\right)$

ya que los vectores de la base 0 son dependientes del tiempo en el sistema 1.

Aplicamos la ley de composición de velocidades angulares

${\vec {\alpha }}_{21}={\vec {\alpha }}_{20}+{\vec {\alpha }}_{01}+{\vec {\omega }}_{01}+{\vec {\omega }}_{20}$

lo que nos da

${\vec {\alpha }}_{21}=\left({\frac {v_{0}}{R}}{\vec {k}}_{0}\right)\times \left(-{\frac {v_{0}}{R}}\left({\vec {\imath }}_{0}+2{\vec {k}}_{0}\right)\right)=-{\frac {v_{0}^{2}}{R^{2}}}{\vec {\jmath }}_{0}$