Ver el código de «Dos partículas unidas por una barra sin masa con una cuchilla, (MR)»

= Enunciado =
[[Imagen:MR_Masas_cuchilla.png|right]]
Dos partículas puntuales de masa <math>m</math> están unidas por una barra de longitud <math>L</math> y masa despreciable. Las partículas deslizan sobre un plano fijo <math>OX_1Y_1</math>, pero una de las partículas tiene una cuchilla, de modo que su velocidad sólo puede tener componente paralela a la cuchilla. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\imath}_1</math> constante actúa sobre la partícula que no tiene la cuchilla.
#Encuentra la expresión del vínculo no holónomo del sistema.
#Escribe las ecuaciones de Lagrange utilizando la técnica de los multiplicadores de Lagrange.
#Identifica el significado físico del multiplicador de Lagrange.

= Solución =

== Cinemática y vínculo ==
La reducción cinemática del sólido en el punto <math>A</math> es
<center>
<math>
\vec{\omega} = \dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1 + \dot{y}\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
La cuchilla hace que la velocidad del punto <math>A</math> tenga que ser paralela a la propia barra. Tenemos
<center>
<math>
\overrightarrow{AB} = L\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1.  
</math>
</center>
La ligadura es
<center>
<math>
\vec{v}^{\,A}\times\overrightarrow{AB}=\vec{0}
\Longrightarrow
\dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta = 0.
</math>
</center>
Esta es una ligadura cinemática no holónoma. 

== Ecuaciones de Lagrange ==
El sistema tiene tres grados de libertad, pero al ser una ligadura no holónoma, trabajaremos con tres coordenadas: <math>\{x, y, \theta\}</math>. La ligadura no holónoma obliga a introducir un multiplicador de Lagrange.
<center>
<math>
g(x,y,\theta,\dot{x}, \dot{y}, \dot{\theta}, t) = \dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta = 0
\Longrightarrow \mu
</math>
</center>
Las tres ecuaciones de Lagrange son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial x} = Q^{NC}_x + \mu\dfrac{\partial g}{\partial\dot{x}}\\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial y} = Q^{NC}_y + \mu\dfrac{\partial g}{\partial\dot{y}}\\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) - \dfrac{\partial L}{\partial \theta} = Q^{NC}_\theta + \mu\dfrac{\partial g}{\partial\dot{\theta}}
\end{array}
</math>
</center>
La energía cinética es la suma de la energía cinética de las dos masas
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m\left(|\vec{v}^{\,A}|^2 + |\vec{v}^{\,B}|^2\right)
</math>
</center>
Usando el Teorema de Chasles
<center>
<math>
\vec{v}^{\,B} = \vec{v}^{\,A} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AB}
=
(\dot{x} - L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1
+
(\dot{y} + L\dot{\theta}\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1
</math>
</center>
Por tanto
<center>
<math>
T = \dfrac{1}{2}m(2\dot{x}^2 + 2\dot{y}^2 + L^2\dot{\theta}^2 - 2L\dot{x}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + 2L\dot{y}\dot{\theta}\cos\theta)
</math>
</center>
La altura de las bolas no cambian, por lo que la energía potencial gravitatoria es constante 
y no hace falta considerarla. Así pues, la función Lagrangiana es
<center>
<math>
L = T = \dfrac{1}{2}m(2\dot{x}^2 + 2\dot{y}^2 + L^2\dot{\theta}^2 - 2L\dot{x}\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + 2L\dot{y}\dot{\theta}\cos\theta)
</math>
</center>
==== Ecuación para <math>x</math> ====
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}} = m(2\dot{x} - L\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta),
\\ \\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{x}}\right) = 
m(2\ddot{x} - L\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta -L\dot{\theta}^2\cos\theta),
\\ \\
\dfrac{\partial L}{\partial x} = 0.
\end{array}
</math>
</center>
La contribución de la fuerza no conservativa es
<center>
<math>
Q^{NC}_x = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,B}}{\partial \dot{x}} 
=
(F_0\,\vec{\imath}_1)\cdot(\vec{\imath}_1) = F_0
</math>
</center>
Y la del multiplicador de Lagrange
<center>
<math>
\mu\,\dfrac{\partial g}{\partial\dot{x}} = \mu\,\mathrm{sen}\,\theta
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
m(2\ddot{x} - L\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta -L\dot{\theta}^2\cos\theta) = F_0 + \mu\,\mathrm{sen}\,\theta. \qquad\qquad (1)
</math>
</center>

==== Ecuación para <math>y</math> ====
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial L}{\partial \dot{y}} = m(2\dot{y} + L\dot{\theta}\cos\theta),
\\ \\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{y}}\right) = 
m(2\ddot{y} + L\ddot{\theta}\cos\theta -L\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta),
\\ \\
\dfrac{\partial L}{\partial y} = 0.
\end{array}
</math>
</center>
La contribución de la fuerza no conservativa es
<center>
<math>
Q^{NC}_y = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,B}}{\partial \dot{y}} 
=
(F_0\,\vec{\imath}_1)\cdot(\vec{\jmath}_1) = 0.
</math>
</center>
Y la del multiplicador de Lagrange
<center>
<math>
\mu\,\dfrac{\partial g}{\partial\dot{y}} = -\mu\cos\theta
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
m(2\ddot{y} + L\ddot{\theta}\cos\theta -L\dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta) = -\mu\cos\theta.
\qquad \qquad (2)
</math>
</center>

==== Ecuación para <math>\theta</math> ====
Tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}} = m(L^2\dot{\theta} - L\dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta + L\dot{y}\cos\theta),
\\ \\
\dfrac{\mathrm{d}}{\mathrm{d}t}\left(\dfrac{\partial L}{\partial \dot{\theta}}\right) = 
m(L^2\ddot{\theta} - L\ddot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta + L\ddot{y}\cos\theta 
- L\dot{\theta}(\dot{y}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{x}\cos\theta))
\\ \\
\dfrac{\partial L}{\partial \theta} = -mL\dot{\theta}\,(\dot{x}\cos\theta + \dot{y}\,\mathrm{sen}\,\theta)
\end{array}
</math>
</center>
La contribución de la fuerza no conservativa es
<center>
<math>
Q^{NC}_{\theta} = \vec{F}\cdot\dfrac{\partial \vec{v}^{\,B}}{\partial \dot{\theta}} 
=
(F_0\,\vec{\imath}_1)\cdot(-L\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + L\cos\theta\vec{\jmath}_1) = 
-F_0L\,\mathrm{sen}\,\theta.
</math>
</center>
Y la del multiplicador de Lagrange
<center>
<math>
\mu\,\dfrac{\partial g}{\partial\dot{\theta}} = 0.
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
m(L\ddot{\theta} - \ddot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta + \ddot{y}\cos\theta) = -F_0\,\mathrm{sen}\,\theta. \qquad\qquad (3)
</math>
</center>
La cuarta ecuación es el propio vínculo
<center>
<math>
g(x,y,\theta,\dot{x}, \dot{y}, \dot{\theta}, t) = \dot{x}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{y}\cos\theta = 0\,\qquad\qquad (4)
</math>
</center>
Tenemos 4 incógnitas: <math>\{x, y, \theta, \mu\}</math> y 4 ecuaciones.

== Significado físico del multiplicador ==
[[Imagen:Masas_cuchilla_vincular.png|right]]
Si aplicásemos el Principio de Liberación, al liberar el vínculo sobre la partícula  <math>A</math> 
tendríamos que incluir una fuerza vincular sobre ella perpendicular a la barra, pues ese es el 
movimiento prohibido de la partícula
<center>
<math>
\vec{\Phi}^{\,A} = N_A\,(-\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + \cos\theta\,\vec{\jmath}_1)
</math>
</center>
La contribución de esta fuerza vincular a las diferentes componentes de fuerza generalizada serían
<center>
<math>
\begin{array}{l}
Q^{\Phi}_{x} = \vec{\Phi}^{\,A}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,A}}{\partial\dot{x}} = -N_A\,\mathrm{sen}\,\theta\\
\\
Q^{\Phi}_{y} = \vec{\Phi}^{\,A}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,A}}{\partial\dot{y}} = N_A\cos\theta\\
\\
Q^{\Phi}_{\theta} = \vec{\Phi}^{\,A}\cdot\dfrac{\partial\vec{v}^{\,A}}{\partial\dot{\theta}} = 0
\end{array}
</math>
</center>
Comparando con las contribuciones del multiplicador de Lagrange vemos que
<center>
<math>
\mu = -N_A.
</math>
</center>

[[Categoría:Problemas de mecánica analítica]]
[[Categoría:Problemas de Dinámica Analítica]]