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Dos barras articuladas con muelle (Feb. 2020)

De Laplace

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Revisión de 14:01 8 feb 2021

Contenido

1 Enunciado

El sistema de la figura consta de dos barra articuladas. La longitud de las dos barras es L = 2b. La masa de la barra "2" es m, mientras que la de la masa "0" es despreciable. Las barras se articulan entre sí en el punto B. El extremo A de la barra "0" se conecta con un pasador, de modo que desliza sobre el eje fijo OX1. La barra "2" está articulada sobre el eje OX1 en el punto fijo C. Un muelle de constante elástica k y longitud natural nula conecta los centros de las barras.


  1. Determina gráfica y analíticamente la posición de los CIR de los tres movimientos que se pueden definir en el sistema.
  2. ¿Cuántos grados de libertad tiene el problema?. Encuentra reducciones cinemáticas de los movimientos {21}, {20} y {01}. Las reducciones deben expresarse en función de los grados de libertad.
  3. Calcula la energía cinética y potencial del sistema.
  4. Determina la posición de equilibrio.
  5. Se aplica un par \vec{\tau}=\tau_0\,\vec{k}_1 sobre la barra "2". Dibuja el diagrama de fuerzas y pares que actúan sobre cada barra.
  6. Calcula la cantidad de movimiento de cada barra.
  7. Calcula \vec{L}^{\,'0'}_{G_0} y \vec{L}^{\,'2'}_C.
  8. Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el sistema.
  9. Escribe la función de Lagrange y las ecuaciones de Lagrange del sistema.

2 Solución

2.1 Posiciones de los C.I.R.s

Las barras están articuladas en el punto B. Por tanto


\vec{v}^{\,B}_{20} = \vec{0} 
\Longrightarrow 
I_{20}\equiv B.

La barra "2" esta articulada en el punto fijo C. Entonces


\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0} 
\Longrightarrow 
I_{21}\equiv C.

El punto A desliza sobre el eje fijo OX1. Entonces \vec{v}^{\,A}_{01}\parallel \vec{\imath}_1. El C.I.R. I01 debe estar en la recta perpendicular a esta velocidad trazada en A. Por otro lado, el Teorema de los Tres Centros nos dice que ese C.I.R. también debe encontrarse en la recta que une I21 y I20. El punto de corte nos da la posición de I01. Los vectores de posición de estos puntos son


\begin{array}{l}
\overrightarrow{OI}_{01} = x\,\vec{\imath}_1 + 4b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1,\\
\overrightarrow{OI}_{20} = (x + 2b\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1,\\
\overrightarrow{OI}_{21} = 4b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}

2.2 Cinemática

Observando el dibujo tenemos


\vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1.

Para la barra "2" tenemos


\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, \qquad \vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0}.

Ahora aplicamos el vínculo en el punto de articulación de las barras: \vec{v}^{\,B}_{20}=\vec{0}. Usando las leyes de composición de velocidades


\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,B}_{20}  &= \vec{v}^{\,B}_{21} - \vec{v}^{\,B}_{01}=
(4b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta - \dot{x})\,\vec{\imath}_1
 \\
&\\
& \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,C}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{CB}
= (-\dot{\theta}\,\vec{k})\times(-2b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)
=
2b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + 2b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1.\\
& \vec{v}^{\,B}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB} =
(\dot{x} -2b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 +  2b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1.
\\
& \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1\\
& \qquad \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB}= (\dot{\theta}\,\vec{k})\times(2b\cos\theta\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)
=
-2b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + 2b\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}

Para que esa velocidad se anula debe cumplirse


\dot{x} = 4b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta.

Otra forma de obtener esta expresión es darse cuenta de que


\overline{OC} = x + 4b\cos\theta = cte.

Derivando respecto al tiempo esta expresión se obtiene el resultado anterior.

Así pues, el sistema tiene un grado de libertad. Elegimos la coordenada {θ} para trabajar. Las reducciones cinemáticas quedan


\begin{array}{ll}
\vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,A}_{01} = 4b\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1, \\
&\\
\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{0}.
\end{array}

2.3 Energía cinética y potencial

La masa de la barra "0" es despreciable. Por tanto, no contribuye ni a la energía cinética ni a la energía potencial del sistema.

La barra "2" tiene un punto fijo. Entonces su energía cinética puede expresarse


T^{'2'} = \dfrac{1}{2}I_C|\vec{\omega}_{21}|^2 = \dfrac{2}{3}mb^2\dot{\theta}^2.
\qquad\qquad
(I_C = mL^2/3 = 4mb^2/3)

Su energía potencial gravitatoria es


U^{'2'}_g = 2mbg\,\mathrm{sen}\,\theta.

La energía potencial elástica del muelle es


U_k = \dfrac{1}{2}k\overline{G_0G_2}^2 = 2kb^2\cos^2\theta.

Entonces, la energía potencial total es


U = U_g + U_k = 2mbg\,\mathrm{sen}\,\theta +  2kb^2\cos^2\theta.

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