Calidad de una mezcla

Enunciado

La densidad del agua a 101.3 kPa y 100 ℃ es de 958 kg/m³ y la del vapor de agua a la misma temperatura y presión es de 0.59 kg/m³. Se tiene 1000 cm³ de agua a 100℃ en un cilindro con pistón móvil. Se suministra calor al agua de forma que se vaporiza parcialmente. Halle la calidad (o título) de la mezcla de agua y vapor de agua en el estado final, si el volumen final es

1. 2 L
2. 1 m³.

Solución

Inicialmente tenemos 1000 cm³ de agua, que tienen una masa

$m_{T}=\rho _{a}V_{0}=0.958\,\mathrm {kg}$

Cuando una parte del agua se vaporiza, la masa total no cambia, por lo que en todo momento se cumplirá

$m_{a}+m_{v}=m_{T}\,$

con $m_{a}$ y $m_{v}$ las masas de agua y de vapor, respectivamente.

Conocemos también el volumen total para cada uno de los apartados

$V_{a}+V_{v}=V_{T}\,$

y, en función de las masas

${\frac {m_{a}}{\rho _{a}}}+{\frac {m_{v}}{\rho _{v}}}=V_{T}$

esto es un sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas con solución:

$m_{a}={\frac {\rho _{a}(m_{T}-\rho _{v}V_{T})}{\rho _{a}-\rho _{v}}}\qquad \qquad m_{v}={\frac {\rho _{v}(\rho _{a}V_{T}-m_{T})}{\rho _{a}-\rho _{v}}}$

La calidad de la mezcla es

$x={\frac {m_{v}}{m_{a}+m_{v}}}={\frac {m_{v}}{m_{T}}}={\frac {\rho _{v}}{\rho _{a}-\rho _{v}}}\left({\frac {\rho _{a}V_{T}}{m_{T}}}-1\right)={\frac {\rho _{v}}{\rho _{a}-\rho _{v}}}\left({\frac {V_{T}}{V_{0}}}-1\right)$

Numéricamente, con el volumen en litros:

$x={\frac {0.59}{958-0.59}}\left({\frac {V_{T}}{1}}-1\right)=0.000616246(V_{T}-1)$

para un volumen de 2 L

$x=0.000616246=0.0616\%$

y para 1000 L

$x=0.000616246\times 999==0.615=61.5\%$