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Disco rodando sin deslizar (MR G.I.C.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Cantidad de movimiento)
(Usando el campo de momentos angulares a partir de A)
 
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==== Usando el campo de momentos angulares a partir de <math>A</math> ====
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En este caso este es el método mas rápido.La ecuación del campo de momentos angulares dice que los momentos en <math>A</math> y <math>O</math> están relacionados por
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En este caso este es el método mas rápido. La ecuación del campo de momentos angulares dice que los momentos en <math>A</math> y <math>O</math> están relacionados por
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última version al 10:46 21 oct 2021

Contenido

1 Enunciado

Un aro homogéneo de radio R y masa m rueda sin deslizar sobre el eje fijo OX1. Calcula

  1. su cantidad de movimiento;
  2. su momento angular respecto de su centro de masa, el punto de contacto con el eje fijo y el origen O1;
  3. su energía cinética.

2 Solución

2.1 Reducción cinemática

El vector rotación es


\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}.

La velocidad respecto al sistema O1X1Y1Z1 del centro de masas es


\vec{v}^{\,G}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1.  \qquad\qquad (1)

Dado que rueda sin deslizar tenemos, en el punto de contacto


\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{0}_1.

Aplicando el Teorema de Chasles obtenemos


\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}
=
(-\dot{\theta}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1) = R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1.

Como esta velocidad tiene que ser igual a (1), obtenemos la relación de ligadura entre las coordenadas x y θ


\dot{x} = R\dot{\theta}.

Con esto podemos escribir la reducción cinemática del movimiento {21} en función de x o θ


\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,G}_{21} = R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1.
\\
\mathrm{o}
&\\
\vec{\omega}_{21} = -(\dot{x}/R)\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,G}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1
\end{array}

Podemos usar cualquiera de las dos.

2.2 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento del aro es


\vec{C} = m\vec{v}^{\,G}_{21} = m\dot{x}\,\vec{\imath}_1 =
mR\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1.

2.3 Momento cinético

2.3.1 En el centro de masas

Al ser un sólido plano haciendo un movimiento plano, podemos utilizar la expresión simplificadapara calcular el momento angular respecto al centro de masas


\vec{L}_G = I_{zz}(G)\,\vec{\omega}_{21},

donde Izz(G) es el momento de inercia respecto al eje paralelo a OZ que pasa por G. Para un aro tenemos

Izz(G) = mR2.

Por tanto el momento angular pedido es


\vec{L}_G = -mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -mR\dot{x}\,\vec{k}.

2.3.2 En el punto de contacto

El punto de contacto con el eje es un punto fijo del sólido: \vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}. Entonces podemos calcular el momento angular con la expresión


\vec{L}_A = I_{zz}(A)\,\vec{\omega}_{21}.

Aquí, Izz(A) es el momento de inercia respecto a un eje paralelo a OZ que pase por A. Podemos calcularlo usando el teorema de los ejes paralelos


I_{zz}(A) = I_{zz}(G) + m\,\overline{GA}^2 = 2mR^2.

El momento angular pedido es


\vec{L}_A = -2mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -2mR\dot{x}\,\vec{k}.

2.3.3 Respecto del origen O1

Este momento se puede calcular de tres maneras diferentes

2.3.3.1 Usando el campo de momentos angulares a partir de G

Este método suele ser el mas sencillo para calcular momentos angulares en puntos que no sean el centro de masas o un punto fijo del sólido. La ecuación del campo de momentos angulares dice que los momentos en G y O están relacionados por


\vec{L}_O = \vec{L}_G  + \vec{C}\times\overrightarrow{GO}.

El producto vectorial del segundo término es


\vec{C}\times\overrightarrow{GO} =
(m\dot{x}\,\vec{\imath}_1)\times (-x\,\vec{\imath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1) =
-mR\dot{x}\,\vec{k}.

Entonces el momento angular pedido es


\vec{L}_O = \vec{L}_G - mR\dot{x}\,\vec{k} = -2mR\dot{x}\,\vec{k} = -2mR^2\dot{\theta}\,\vec{k}.

2.3.3.2 En el punto O1

El punto O1 no es un punto fijo del movimiento {21}: \vec{v}^{\,O}_{21}\neq\vec{0}. Entonces hay que usar la expresión completa para calcular el momento angular en él


\vec{L}_O = I_{zz}(O)\,\vec{\omega}_{21}  + m\overrightarrow{OG}\times\vec{v}^{\,O}_{21}. \qquad (2)

Utilizando de nuevo el teorema de los ejes paralelos tenemos


I_{zz}(O) = I_{zz}(G) + m\,\overline{GO}^2 = mR^2 + m\,(x^2+R^2) = 2mR^2 + mx^2.

Por tanto


I_{zz}(O)\,\vec{\omega}_{21} = -(2mR^2 + mx^2)\dot{\theta}\,\vec{k}. \qquad (3)

Ahora aplicamos el teorema de Chasles


\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overline{GO}=
\dot{x}\,\vec{\imath}_1 + (-\dot{\theta}\,\vec{k})\times(-x\,\vec{\imath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1)
=
(\dot{x}-R\dot{\theta})\,\vec{\imath}_1 + x\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1
=
x\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1.

El producto vectorial del segundo término en (2) es


m\overrightarrow{OG}\times\vec{v}^{\,O}_{21}
=
m\,(x\,\vec{\imath}_1 + R\,\vec{\jmath}_1)\times(x\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1)
=
mx^2\dot{\theta}\,\vec{k}. \qquad (4)

Finalmente, el momento angular pedido se obtiene sumando (3) y (4)


\vec{L}_O = -2mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -2mR\dot{\theta}\,\vec{k}.

2.3.3.3 Usando el campo de momentos angulares a partir de A

En este caso este es el método mas rápido. La ecuación del campo de momentos angulares dice que los momentos en A y O están relacionados por


\vec{L}_O = \vec{L}_A  + \vec{C}\times\overrightarrow{AO}.

Ahora bien, el producto vectorial es nulo pues los dos vectores implicados son paralelos. Entoces


\vec{L}_O = \vec{L}_A  = - mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -2mR\dot{x}\,\vec{k}.

2.4 Energía cinética

Vamos a hacerlo de tres formas distintas.

2.4.1 Pasando por el centro de masas

Esta es la técnica que funciona siempre. La energía cinética del sólido se puede calcular con la expresión (usando que G es el centro de masas y el sólido es plano y hace un movimiento plano)


T = \dfrac{1}{2}m\,|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_{zz}(G)\,|\vec{\omega}_{21}|^2.

Usando los resultados de los apartados anteriores


T = \dfrac{1}{2}m\dot{x}^2 + \dfrac{1}{2}mR^2\dot{\theta}^2 = m\dot{x}^2 = mR^2\,\dot{\theta}^2.

2.4.2 Pasando por el punto A

La velocidad absoluta del punto A es nula. Entonces la fórmula general para calcular la energía cinética aplicada en A queda


T = \dfrac{1}{2}I_{zz}(A)\,|\vec{\omega}_{21}|^2 = mR^2\,\dot{\theta}^2 = m\dot{x}^2.

En este caso se puede interpretar como energía de rotación alrededor del eje perpendicular al plano del aro que pasa por A.

2.4.3 Pasando por el punto O

Ahora \vec{v}^{\,O}_{21}\neq\vec{0}, por lo que hay que utilizar la expresión completa para calcular la energía cinética


T = \dfrac{1}{2}m\,|\vec{v}^{\,O}_{21}|^2 + m\overrightarrow{OG}\cdot(\vec{v}^{\,O}_{21}\times\vec{\omega}_{21}) + \dfrac{1}{2}I_{zz}(O)\,|\vec{\omega}_{21}|^2.

El segundo término es


\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,O}_{21}\times\vec{\omega}_{21} = (x\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1)\times(-\dot{\theta}\,\vec{k}) = -x\dot{\theta}^2\,\vec{\imath}_1,\\
\\
\overrightarrow{OG}\cdot(\vec{v}^{\,O}_{21}\times\vec{\omega}_{21}) =
(x\,\vec{\imath}_1 + R\,\vec{\jmath}_1)\cdot(-x\dot{\theta}^2\,\vec{\imath}_1) = -x^2\dot{\theta}^2.
\end{array}

Sumando los tres términos para calcular la energía cinética obtenemos


T = \dfrac{1}{2}mx^2\dot{\theta}^2 - mx^2\dot{\theta}^2 + \left(mR^2\dot{\theta}^2 + \dfrac{1}{2}mx^2\dot{\theta}^2\right)
=
mR^2\dot{\theta}^2
=
m\dot{x}^2.

Claramente, esta última técnica es la mas farragosa y hay que procurar evitarla.

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