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Disco rodando sin deslizar (MR G.I.C.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '= Enunciado = 250px Un aro homogéneo de radio <math>R</math> y masa <math>m</math> rueda sin deslizar sobre el eje fijo <math>OX_1</math>…')
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= Solución =
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== Reducción cinemática ==
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La velocidad respecto al sistema <math>O_1X_1Y_1Z_1</math> del centro de masas es
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\vec{v}^{\,G}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1.  \qquad\qquad (1)
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Dado que rueda sin deslizar tenemos, en el punto de contacto
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\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}
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(-\dot{\theta}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1) = R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1.
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Como esta velocidad tiene que ser igual a (1), obtenemos la relación de ligadura entre las coordenadas <math>x</math> y <math>\theta</math>
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\dot{x} = R\dot{\theta}.
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Con esto podemos escribir la reducción cinemática del movimiento {21} en función de <math>x</math> o <math>\theta</math>
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\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,G}_{21} = R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1.
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\vec{\omega}_{21} = -(\dot{x}/R)\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,G}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1
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Podemos usar cualquiera de las dos
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== Cantidad de movimiento ==
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La cantidad de movimiento del aro es
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\vec{C} = m\vec{v}^{\,G}_{21} = m\dot{x}\,\vec{\imath}_1 =
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R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1.
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== Momento cinético ==
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=== En el centro de masas ===
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Al ser un sólido plano haciendo un movimiento plano, podemos utilizar la expresión simplificadapara calcular el momento angular respecto al centro de masas
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\vec{L}_G = I_{zz}(G)\,\vec{\omega}_{21},
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donde <math>I_{zz}(G)</math> es el momento de inercia respecto al eje paralelo a <math>OZ</math> que pasa por <math>G</math>. Para un aro tenemos
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I_{zz}(G) = mR^2.
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Por tanto el momento angular pedido es
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\vec{L}_G = -mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -mR\dot{x}\,\vec{k}.
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=== En el punto de contacto ===
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El punto de contacto con el eje es un punto fijo del sólido: <math>\vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}</math>. Entonces podemos calcular el momento angular con la expresión
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\vec{L}_A = I_{zz}(A)\,\vec{\omega}_{21}.
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Aquí, <math>I_{zz}(A)</math> es el momento de inercia respecto a un eje paralelo a <math>OZ</math> que pase por <math>A</math>. Podemos calcularlo usando el teorema de los ejes paralelos
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I_{zz}(A) = I_{zz}(G) + m\,\overline{GA}^2 = 2mR^2.
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El momento angular pedido es
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\vec{L}_A = -2mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -2mR\dot{x}\,\vec{k}.
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=== Respecto del origen <math>O_1</math> ===
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Este momento se puede calcular de tres maneras diferentes
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==== Usando el campo de momentos angulares a partir de <math>G</math> ====
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Este método suele ser el mas sencillo para calcular momentos angulares en puntos que no sean el centro de masas o un punto fijo del sólido. La ecuación del campo de momentos angulares dice que los momentos en <math>G</math> y <math>O</math> están relacionados por
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\vec{L}_O = \vec{L}_G  + \vec{C}\times\overrightarrow{GO}.
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El producto vectorial del segundo término es
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\vec{C}\times\overrightarrow{GO} =
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Entonces el momento angular pedido es
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\vec{L}_O = \vec{L}_G - mR\dot{x}\,\vec{k} = -2mR\dot{x}\,\vec{k} = -2mR^2\dot{\theta}\,\vec{k}.
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==== En el punto <math>O_1 </math> ====
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El punto <math>O_{1}</math> '''no es un punto fijo''' del movimiento {21}: <math>\vec{v}^{\,O}_{21}\neq\vec{0}</math>. Entonces hay que usar la expresión completa para calcular el momento angular en él
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\vec{L}_O = I_{zz}(O)\,\vec{\omega}_{21}  + m\overrightarrow{OG}\times\vec{v}^{\,O}_{21}. \qquad (2)
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Utilizando de nuevo el teorema de los ejes paralelos tenemos
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I_{zz}(O) = I_{zz}(G) + m\,\overline{GO}^2 = mR^2 + m\,(x^2+R^2) = 2mR^2 + mx^2.
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Por tanto
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I_{zz}(O)\,\vec{\omega}_{21} = -(2mR^2 + mx^2)\dot{\theta}\,\vec{k}. \qquad (3)
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Ahora aplicamos el teorema de Chasles
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\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overline{GO}=
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\dot{x}\,\vec{\imath}_1 + (-\dot{\theta}\,\vec{k})\times(-x\,\vec{\imath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1)
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(\dot{x}-R\dot{\theta})\,\vec{\imath}_1 + x\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1
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x\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1.
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El producto vectorial del segundo término en (2) es
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m\overrightarrow{OG}\times\vec{v}^{\,O}_{21}
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m\,(x\,\vec{\imath}_1 + R\,\vec{\jmath}_1)\times(x\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1)
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mx^2\dot{\theta}\,\vec{k}. \qquad (4)
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Finalmente, el momento angular pedido se obtiene sumando (3) y (4)
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\vec{L}_O = -2mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -2mR\dot{\theta}\,\vec{k}.
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==== Usando el campo de momentos angulares a partir de <math>A</math> ====
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En este caso este es el método mas rápido.La ecuación del campo de momentos angulares dice que los momentos en <math>A</math> y <math>O</math> están relacionados por
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\vec{L}_O = \vec{L}_A  + \vec{C}\times\overrightarrow{AO}.
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Ahora bien, el producto vectorial es nulo pues los dos vectores implicados son paralelos. Entoces
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\vec{L}_O = \vec{L}_A  = - mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -2mR\dot{x}\,\vec{k}.
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Revisión de 10:00 21 oct 2021

Contenido

1 Enunciado

Un aro homogéneo de radio R y masa m rueda sin deslizar sobre el eje fijo OX1. Calcula

  1. su cantidad de movimiento;
  2. su momento angular respecto de su centro de masa, el punto de contacto con el eje fijo y el origen O1;
  3. su energía cinética.

2 Solución

2.1 Reducción cinemática

El vector rotación es


\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}.

La velocidad respecto al sistema O1X1Y1Z1 del centro de masas es


\vec{v}^{\,G}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1.  \qquad\qquad (1)

Dado que rueda sin deslizar tenemos, en el punto de contacto


\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{0}_1.

Aplicando el Teorema de Chasles obtenemos


\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG}
=
(-\dot{\theta}\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}_1) = R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1.

Como esta velocidad tiene que ser igual a (1), obtenemos la relación de ligadura entre las coordenadas x y θ


\dot{x} = R\dot{\theta}.

Con esto podemos escribir la reducción cinemática del movimiento {21} en función de x o θ


\begin{array}{lcl}
\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,G}_{21} = R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1.
\\
\mathrm{o}
&\\
\vec{\omega}_{21} = -(\dot{x}/R)\,\vec{k}, & \vec{v}^{\,G}_{21} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1
\end{array}

Podemos usar cualquiera de las dos

2.2 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento del aro es


\vec{C} = m\vec{v}^{\,G}_{21} = m\dot{x}\,\vec{\imath}_1 =
R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1.

2.3 Momento cinético

2.3.1 En el centro de masas

Al ser un sólido plano haciendo un movimiento plano, podemos utilizar la expresión simplificadapara calcular el momento angular respecto al centro de masas


\vec{L}_G = I_{zz}(G)\,\vec{\omega}_{21},

donde Izz(G) es el momento de inercia respecto al eje paralelo a OZ que pasa por G. Para un aro tenemos

Izz(G) = mR2.

Por tanto el momento angular pedido es


\vec{L}_G = -mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -mR\dot{x}\,\vec{k}.

2.3.2 En el punto de contacto

El punto de contacto con el eje es un punto fijo del sólido: \vec{v}^{\,A}_{21}=\vec{0}. Entonces podemos calcular el momento angular con la expresión


\vec{L}_A = I_{zz}(A)\,\vec{\omega}_{21}.

Aquí, Izz(A) es el momento de inercia respecto a un eje paralelo a OZ que pase por A. Podemos calcularlo usando el teorema de los ejes paralelos


I_{zz}(A) = I_{zz}(G) + m\,\overline{GA}^2 = 2mR^2.

El momento angular pedido es


\vec{L}_A = -2mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -2mR\dot{x}\,\vec{k}.

2.3.3 Respecto del origen O1

Este momento se puede calcular de tres maneras diferentes

2.3.3.1 Usando el campo de momentos angulares a partir de G

Este método suele ser el mas sencillo para calcular momentos angulares en puntos que no sean el centro de masas o un punto fijo del sólido. La ecuación del campo de momentos angulares dice que los momentos en G y O están relacionados por


\vec{L}_O = \vec{L}_G  + \vec{C}\times\overrightarrow{GO}.

El producto vectorial del segundo término es


\vec{C}\times\overrightarrow{GO} =
(m\dot{x}\,\vec{\imath}_1)\times (-x\,\vec{\imath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1) =
-mR\dot{x}\,\vec{k}.

Entonces el momento angular pedido es


\vec{L}_O = \vec{L}_G - mR\dot{x}\,\vec{k} = -2mR\dot{x}\,\vec{k} = -2mR^2\dot{\theta}\,\vec{k}.

2.3.3.2 En el punto O1

El punto O1 no es un punto fijo del movimiento {21}: \vec{v}^{\,O}_{21}\neq\vec{0}. Entonces hay que usar la expresión completa para calcular el momento angular en él


\vec{L}_O = I_{zz}(O)\,\vec{\omega}_{21}  + m\overrightarrow{OG}\times\vec{v}^{\,O}_{21}. \qquad (2)

Utilizando de nuevo el teorema de los ejes paralelos tenemos


I_{zz}(O) = I_{zz}(G) + m\,\overline{GO}^2 = mR^2 + m\,(x^2+R^2) = 2mR^2 + mx^2.

Por tanto


I_{zz}(O)\,\vec{\omega}_{21} = -(2mR^2 + mx^2)\dot{\theta}\,\vec{k}. \qquad (3)

Ahora aplicamos el teorema de Chasles


\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overline{GO}=
\dot{x}\,\vec{\imath}_1 + (-\dot{\theta}\,\vec{k})\times(-x\,\vec{\imath}_1 - R\,\vec{\jmath}_1)
=
(\dot{x}-R\dot{\theta})\,\vec{\imath}_1 + x\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1
=
x\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1.

El producto vectorial del segundo término en (2) es


m\overrightarrow{OG}\times\vec{v}^{\,O}_{21}
=
m\,(x\,\vec{\imath}_1 + R\,\vec{\jmath}_1)\times(x\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_1)
=
mx^2\dot{\theta}\,\vec{k}. \qquad (4)

Finalmente, el momento angular pedido se obtiene sumando (3) y (4)


\vec{L}_O = -2mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -2mR\dot{\theta}\,\vec{k}.

2.3.3.3 Usando el campo de momentos angulares a partir de A

En este caso este es el método mas rápido.La ecuación del campo de momentos angulares dice que los momentos en A y O están relacionados por


\vec{L}_O = \vec{L}_A  + \vec{C}\times\overrightarrow{AO}.

Ahora bien, el producto vectorial es nulo pues los dos vectores implicados son paralelos. Entoces


\vec{L}_O = \vec{L}_A  = - mR^2\dot{\theta}\,\vec{k} = -2mR\dot{x}\,\vec{k}.

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