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Disco con barra articulada, Noviembre 2015 (MR G.I.C.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Velocidad \vec{v}^{\,O_1}_{21} en el instante inicial)
(Momento cinético \vec{L}_C en el instante inicial)
 
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Esta velocidad '''no es cero'''. En ese instante hay tres puntos distintos en el punto geométrico <math>O_1</math>, uno por cada sólido que consideramos. Sólo los puntos que pertenecen a los sólidos "0" y  "1" tienen velocidad cero.
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Esta velocidad '''no es cero'''. En ese instante hay tres puntos distintos en el punto geométrico <math>O_1</math>, uno por cada sólido que consideramos. Sólo los puntos que pertenecen a los sólidos "0" y  "1" tienen velocidad cero respecto al sólido "1".
=== Momento cinético <math>\vec{L}_C</math> en el instante inicial ===
=== Momento cinético <math>\vec{L}_C</math> en el instante inicial ===
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[[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
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[[Categoría:Problemas de cinética del sólido rígido]]
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[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]
[[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]

última version al 18:56 2 dic 2018

Contenido

1 Enunciado

El disco de la figura (sólido "0"), de masa m y radio R, rueda sin deslizar sobre el eje OX1. Una barra (sólido "2"), de masa m y longitud R, se encuentra articulada en el punto A de la circunferencia del disco. El otro extremo, B se conecta a un deslizador que se mueve sobre una barra paralela al eje OX1. En el instante inicial los puntos G y A se encontraban sobre el eje O1Y1 (con el punto A por encima del G).

  1. Calcula la velocidad absoluta del punto A.
  2. Determina la velocidad de rotación \vec{\omega}_{20}.
  3. En esta pregunta y las siguientes suponemos que el punto B se mueve con velocidad \vec{v}=v_0\,\vec{\imath}_1. Calcula el valor de \dot{\theta}.
  4. Calcula el valor de \vec{\alpha}_{21}.
  5. Determina el valor de \vec{v}^{\,O_1}_{21} en el instante incial.
  6. Calcula el momento cinético del disco respecto al punto de contacto con el suelo en el instante inicial.

2 Solución

2.1 Velocidad absoluta del punto A

Se trata de un movimiento plano. En este caso podemos encontrar una expresión que nos da el vector de posición del punto A válida para todo instante de tiempo. Tenemos


\overrightarrow{O_1A} = (x+R\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + R(1+\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\jmath}_1.

La velocidad absoluta del punto A es


\vec{v}^{\,A}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_1A}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
(\dot{x} - R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 + R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1

Existe un vínculo interligado entre x y θ. Para explicitarlo usamos la reducción cinemática del movimiento {01}.


\begin{array}{l}
\vec{\omega}_{01} = \dot{\theta}\,\vec{k}_1 \\
\\
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,G}_{01} = \dot{x}\,\vec{\imath}_1\\
\\
\vec{v}^{\,C}_{01} = \vec{0}
\end{array}\right|
\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,C}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{CG}
=(\dot{\theta}\,\vec{k}_1)\times(R\,\vec{\jmath}_1) = -R\dot{\theta}\,\vec{\imath}_1
=\dot{x}\,\vec{\imath}_1
\end{array}

Por tanto tenemos \dot{x} = -R\dot{\theta} y la velocidad pedida es


\vec{v}^{\,A}_{21} = -R\dot{\theta}(1+\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 +R\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\jmath}_1

2.2 Velocidad de rotación del punto B

La forma mas fácil de calcular este valor es darse cuenta, observando la figura, de que la barra (y por tanto un uje X2 que coincida con ella) forma un ángulo θ con el eje X1, pues el triángulo GAB es isósceles. La rotación del movimiento {21} es


\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1

Usando las leyes de composición {21} = {20} + {01}


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
\Longrightarrow
\vec{\omega}_{20} = \vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01} = -2\dot\theta\,\vec{k}_1

2.3 Valor de \dot{\theta}

El vector absoluto de posición del punto B es


\overrightarrow{O_1B} = (x+2R\cos\theta)\,\vec{\imath}_1 + R\,\vec{\jmath}_1.

La velocidad absoluta del punto B es


\vec{v}^{\,B}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{O_1B}}{\mathrm{d}t}\right|_1=
(\dot{x} - 2R\dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1
=
-R\dot{\theta}\,(1+ 2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1 = v_0\,\vec{\imath}_1

Por tanto


\dot{\theta} = -\dfrac{v_0}{R(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)}.

2.4 Aceleración angular \vec{\alpha}_{21}

Hemos visto antes que


\vec{\omega}_{21} = -\dot{\theta}\,\vec{k}_1 = \dfrac{v_0}{R(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)}\,\vec{k}_1

Derivamos respecto del tiempo


\vec{\alpha}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1
=
-\dfrac{2v_0\cos\theta}{R(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)^2}\,\dot{\theta}\,\vec{k}_1
=
\dfrac{2v_0^2\cos\theta}{R^2(1+2\,\mathrm{sen}\,\theta)^3}\,\vec{k}_1

2.5 Velocidad \vec{v}^{\,O_1}_{21} en el instante inicial

En el instante inicial tenemos θ = π / 2, pues el punto A esta en el ejeO1Y1 encima del punto G. Entonces


\begin{array}{l}
\dot{\theta} = -\dfrac{v_0}{3R}\\ \\
\vec{\omega}_{21} = \dfrac{v_0}{3R}\,\vec{k}_1\\ \\
\vec{v}^{\,A}_{21} = \dfrac{2v_0}{3R}\,\vec{\imath}_1\\ \\
\overrightarrow{AO_1} = -2R\,\vec{\jmath}_1
\end{array}

Usando el Teorema de Chasles para el movimiento {21} tenemos


\vec{v}^{\,O_1}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21} \times\overrightarrow{AO_1}
=
\dfrac{4v_0}{3R}\,\vec{\imath}_1

Esta velocidad no es cero. En ese instante hay tres puntos distintos en el punto geométrico O1, uno por cada sólido que consideramos. Sólo los puntos que pertenecen a los sólidos "0" y "1" tienen velocidad cero respecto al sólido "1".

2.6 Momento cinético \vec{L}_C en el instante inicial

Al ser un movimiento plano, el eje Z1 es eje principal de inercia en todos los puntos de los sólidos. Por tanto


\vec{L}_C = I_C\,\vec{\omega}_{01},

donde IC es el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él que pase por C. Usando el teorema de Steiner o de los ejes paralelos, lo relacionamos con el momento de inercia respecto al centro de masas


I_C = I_G + mR^2 = \dfrac{1}{2}mR^2 + mR^2 = \dfrac{3}{2}mR^2.

En el instante inicial


\vec{\omega}_{01}(t=0) = \dot{\theta}(\theta=\pi/2)\,\vec{k}_1 = -\dfrac{v_0}{3R}\,\vec{k}_1,

y por tanto


\vec{L}_C(t=0) = -\dfrac{mv_0R}{2}\,\vec{k}_1

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