Ver el código de «Disco articulado en barra con extremo moviéndose en un raíl vertical (Ene. 2021)»

= Enunciado =
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Un aro de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> (sólido "2") rueda sin deslizar sobre una superficie rugosa
(eje fijo <math>OX_1</math>). En el centro del aro se articula una varilla delgada de masa <math>m</math> y longitud
<math>2R</math> (sólido "0"). El otro extremo de la varilla se articula en un pasador que debe moverse en 
un raíl fijo vertical. La distancia entre el eje <math>OY_1</math> y el raíl es <math>4R</math>. La gravedad actúa como se indica 
en la figura. Una fuerza <math>\vec{F}=F_0\,\vec{\jmath}_1</math> actúa sobre el extremo <math>B</math> de la barra.
#Localiza gráficamente los C.I.R. de los tres movimientos relativos del sistema y escribe sus vectores de posición respecto a <math>O</math>.
#Demuestra que existen dos ligaduras de la forma <math>a\dot{s} + b\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0, \quad c\,\dot{\theta}+d\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,{\phi}=0.</math>. Encuentra los valores de los coeficientes <math>a, b, c, d</math>.
#Escribe las reducciones cinemáticas de los movimientos absolutos de los dos sólidos en sus centros de masas respectivos. Deben quedar en función de <math>\phi</math> y <math>\dot{\phi}</math>.
#Calcula la energía cinética total del sistema.
#Dibuja los diagramas de fuerzas de los dos sólidos.
#Aplicando el T.C.M. y el T.M.C. encuentra las ecuaciones que describen el movimiento y las reacciones vinculares. No es necesario hacer las derivadas temporales al aplicar los teoremas.

= Solución =

== Datos que se pueden deducir del enunciado ==

#Todos los movimientos son planos: Los vectores rotación tiene componente sólo en el eje <math>Z</math>.
# El aro rueda sin deslizar: <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0} \Longrightarrow I_{21}\equiv C</math>.
# La barra está articulada en el cento del aro: <math>\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20} \equiv A</math>.
# El centro del aro está siempre a la misma distancia del eje fijo <math>OX_1</math>: <math>\vec{v}^{\,A}_{21}\parallel \vec{\imath}_1</math>.
#El punto <math>B</math> de la barra se mueve en un raíl vertical: <math>\vec{v}^{\,B}_{01} \parallel \vec{\jmath}_1</math>.

== Posiciones de los C.I.R. ==
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-CIR.png|right]]
De la discusión de las deducciones hechas a partir del enunciado podemos obtener inmediatamente la posición de dos de los C.I.R.
<center>
<math>
I_{21}\equiv C, \qquad I_{20} \equiv A.
</math>
</center>
La posición del otro C.I.R. puede obtenerse de dos maneras:
#Por el Teorema de los Tres Centros los tres C.I.R. deben estar sobre la misma línea. Por otro lado, <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> es paralela al eje <math>OY_1</math>. Trazando por <math>B</math> una perpendicular a <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math>, encontramos el C.I.R. buscado en el punto de corte.
#Como <math>A</math> es <math>I_{20}</math>, se tiene <math>\vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21}</math> que es paralela a <math>OX_1</math>. Trazando las perpendiculares a las velocidades {01} respectivas por los puntos <math>A</math> y <math>B</math> encontramos <math>I_{01}</math> en el punto de corte.

== Ligaduras cinemáticas ==
Podemos escribir las reducciones cinemáticas en función de las coordenadas <math>\{s, \theta, \phi\}</math>
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{21} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1,\\
\vec{\omega}_{01} =-\dot{\phi}\,\vec{k},& \qquad \vec{v}^{\,A}_{01} = \dot{s}\,\vec{\imath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Imponemos la ligadura de rodadura sin deslizamiento del aro
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{0},\\
\vec{v}^{\,C}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AC}
= (\dot{s} + R\dot{\theta})\,\vec{k},
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
\dot{\theta} = -\dot{s}/R.
</math>
</center>
La otra ligadura es que <math>\vec{c}^{\,B}_{01}\parallel\vec{\jmath}_1</math>. Aplicando Chasles en el movimiento {01} tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,B}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AB} =
(\dot{s} -2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{\imath}_1 - 2R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
\\
& \overrightarrow{AB} = 2R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - 2R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Como la componente en <math>\vec{\imath}_1</math> de <math>\vec{v}^{\,B}_{01}</math> debe ser cero tenemos
<center>
<math>
\dot{s} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi.
</math>
</center>
Usamos esta expresión en la otra ligadura y las escribimos en la forma del enunciado
<center>
<math>
\left.
\begin{array}{l}
\dot{s} - 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi=0,\\
\dot{\theta} + 2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi = 0.
\end{array}
\right|
\Longrightarrow
a=1, \quad b=-2R, \quad c=1, \quad d = 2.
</math>
</center>

== Reducciones cinemáticas en los centros de masas ==
Debemos expresar las reducciones cinemáticas en función únicamente del grado de libertad <math>\phi</math>. Ya tenemos la reducción pedida en el centro de masa del aro
<center>
<math>
\vec{\omega}_{21} = -2\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{k}, \qquad
\vec{v}^{\,A}_{21} = 2R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Para la barra tenemos
<center>
<math>
\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,D}_{01} & = \vec{v}^{\,A}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{AD} =
R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
\\
& \overrightarrow{AD} = R\cos\phi\,\vec{\imath}_1 - R\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}
</math>
</center>
Y la reducción en el centro de masas de la barra es
<center>
<math>
\vec{\omega}_{01} = -\dot{\phi}\,\vec{k}, \qquad
\vec{v}^{\,D}_{01} = R\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - R\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>

== Energía cinética ==
La energía cinética total es la suma de la energía cinética de los dos sólidos. Para el aro tenemos
<center>
<math>
T^{'2'} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,A}_{21}|^2 + \dfrac{1}{2}I_A|\vec{\omega}_{21}|^2.
</math>
</center>
El término de rotación podemos escribirlo de esa forma al tratarse de un movimiento plano. El momento de inercia es
<center>
<math>
I_A = mR^2.
</math>
</center>
Entonces
<center>
<math>
T^{'2'} = 4mR^2\dot{\phi}^2\,\mathrm{sen}^2\,\phi.
</math>
</center>
Procedemos de forma similar para la barra
<center>
<math>
T^{'0'} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,D}_{01}|^2 + \dfrac{1}{2}I_D|\vec{\omega}_{01}|^2.
</math>
</center>
Esta expresión no se puede aplicar en el punto <math>A</math> porque es un punto móvil. El momento de inercia es
<center>
<math>
I_D = \dfrac{1}{12}m(2R)^2 = \dfrac{1}{3}mR^2.
</math>
</center>
La energía cinética de la barra es
<center>
<math>
T^{'0'} = \dfrac{2}{3}mR^2\dot{\phi}^2.
</math>
</center>
Y la energía cinética total es
<center>
<math>
T = T^{'2'} + T^{'0'} = \dfrac{2}{3}mR^2\dot{\phi}^2\,(1+ 2\,\,\mathrm{sen}^2\,\phi).
</math>
</center>

== Diagrama de fuerzas ==
[[Archivo:MRGIC-discoBarra-Fuerzas.png|right]]
Las fuerzas que actúan sobre cada sólido son

''' Sólido "2" '''

<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P}_{2} = -mg\,\vec{\jmath}_1,& (A)\\
\vec{A}_{20} = A_x\,\vec{\imath}_1 + A_y\,\vec{\jmath}_1, & (A) \\
\vec{C}_{21} = C\,\vec{\jmath}_1, & (C)\\
\vec{C}^{\,R}_{21} = C_R\,\vec{\jmath}_1. & (C)
\end{array}
</math>
</center>
El peso es una fuerza activa mientras que las otras son vinculares. La fuerza <math>\vec{A}_{20}</math> proviene del vínculo <math>\vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}</math>. Las fuerzas en <math>C</math> garantizan que se cumpla el vínculo <math>\vec{v}^{\,C}_{21}=\vec{0}</math>. Distinguimos entre la componente vertical y la horizontal porque está última es una fuerza de rozamiento, que se comporta de manera diferente pues tiene una magnitud máxima.

''' Sólido "0" '''

<center>
<math>
\begin{array}{lr}
\vec{P}_{0} = -mg\,\vec{\jmath}_1,& (A)\\
\vec{F} = F_0\,\vec{\jmath}_1,& (B)\\
\vec{A}_{02} = -\vec{A}_{20} =  -A_x\,\vec{\imath}_1 - A_y\,\vec{\jmath}_1, & (A) \\
\vec{B}_{01} = B\,\vec{\imath}_1, & (B)
\end{array}
</math>
</center>
El peso y <math>\vec{F}</math> son fuerzas aplicadas. La fuerza en <math>A</math> es vincular  y se relaciona con <math>\vec{A}_{20}</math> por la Tercera Ley de Newton. La fuerza en <math>B</math> tiene sólo una componente pues solo el movimiento horizontal de <math>B</math> está restringido (prohibido en este caso)

== Teoremas fundamentales ==

=== T.C.M. ===

'''Sólido "2"'''

Tenemos
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'2'} = \vec{P}_2 + \vec{A}_{20} + \vec{C}_{21} + \vec{C}^{\,R}_{21}.
</math>
</center>
La cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C}^{'2'} = m\vec{v}^{\,A}_{21} = 2mR\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
Aunque no tenemos que hacer la derivada temporal del lado izquierdo (porque no lo pide el problema) si podemos escribirla así
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'2'} = m\vec{a}^{\,A}_{21} = ma^A_x\vec{\imath}_1.
</math>
</center>
No hacía falta escribir este término así para considerar correcta la solución. Obtenemos entonces dos ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
ma^A_x = A_x + C_R, & (1)\\
0 = -mg + A_y + C. & (2)
\end{array}
</math>
</center>

'''Sólido "0"'''

Tenemos
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'0'} = \vec{P}_0 + \vec{A}_{02} + \vec{B}_{01} + \vec{F}.
</math>
</center>
La cantidad de movimiento es
<center>
<math>
\vec{C}^{'0'} = m\vec{v}^{\,D}_{21} = mR\dot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\imath}_1 - mR\dot{\phi}\cos\phi\,\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Podemos escribir la derivada temporal así
<center>
<math>
\dot{\vec{C}}^{'0'} = m\vec{a}^{\,D}_{21} = ma^D_x\vec{\imath}_1 + ma^D_y\vec{\jmath}_1.
</math>
</center>
Obtenemos de nuevo dos ecuaciones
<center>
<math>
\begin{array}{lr}
ma^D_x = -A_x + B, & (3)\\
ma^D_y = -mg - A_y + F_0. & (4)
\end{array}
</math>
</center>

=== T.M.C. ===

'''Sólido 2'''

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}^{'2'}_A = \vec{M}^{'2'}_A = \overrightarrow{AC}\times\vec{C}^{\,R}_{21}
</math>
</center>
Las otra fuerzas no crean momento respecto a <math>A</math>. El momento cinético y su derivada temporal son
<center>
<math>
\vec{L}^{'2'}_A = I_A\vec{\omega}_{21}, \qquad
\dot{\vec{L}}^{'2'}_A = I_A\vec{\alpha}_{21} = I_A\alpha_{21}\,\vec{k}.
</math>
</center>
El producto vectorial es
<center>
<math>
\overrightarrow{CA}\times\vec{C}^{\,R}_{21} = (-R\,\vec{\jmath}_1)\times(C_R\,\vec{\imath}_1) = C_RR\,\vec{k}.
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
I_A\alpha_{21} = C_RR. \qquad (5)
</math>
</center>
Recordemos que, aunque no se pide en el problema, <math>\alpha_{21}</math> se puede expresar en función de <math>\phi</math>. Concretamente
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{21} =\left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{21}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = 
-\dfrac{1}{2}mR\,(\ddot{\phi}\,\mathrm{sen}\,\phi - \dot{\phi}^2\cos\phi)\,\vec{k}.
</math>
</center>

'''Sólido 0'''

Aplicamos el teorema en el centro de masas, pues no hay ningún punto fijo
<center>
<math>
\dot{\vec{L}}^{'0'}_D = \vec{M}^{'0'}_D = \overrightarrow{DA}\times\vec{A}_{02} + \overrightarrow{DB}\times(\vec{F} + \vec{B}_{01}).
</math>
</center>
El peso no crea momento respecto a <math>D</math>. El momento cinético y su derivada temporal son
<center>
<math>
\vec{L}^{'0'}_D = I_D\vec{\omega}_{01}, \qquad
\dot{\vec{L}}^{'0'}_D = I_D\vec{\alpha}_{01} = I_D\alpha_{01}\,\vec{k}.
</math>
</center>
Los productos vectoriales son
<center>
<math>
\begin{array}{l}
\overrightarrow{DA}\times\vec{A}_{02} = -2R\,(A_y\cos\phi + A_x\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{k},\\
\overrightarrow{DB}\times(\vec{B}_{01}+\vec{F}) = 2R\,(F_0\cos\phi + B\,\mathrm{sen}\,\phi)\,\vec{k}
\end{array}
</math>
</center>
La ecuación es
<center>
<math>
I_D\alpha_{01} = 2R\,((F_0-A_y)\cos\phi + (B-A_x)\,\mathrm{sen}\,\phi) \qquad (6)
</math>
</center>
De nuevo, <math>\alpha_{01}</math> se puede expresar en función de <math>\phi</math>
<center>
<math>
\vec{\alpha}_{01} =\left. \dfrac{\mathrm{d}\vec{\omega}_{01}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = 
-I_D\ddot{\phi}\,\vec{k}.
</math>
</center>

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