Enunciado
El disco de la figura tiene masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 4m_0} y radio Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle R} . El disco se apoya sobre dos esquinas. El contacto con la esquina Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} es liso mientra que con la esquina Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es rugoso con coeficiente de rozamiento estático Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} . El ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} verifica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \cos\beta = 3/5, \qquad \mathrm{sen}\,\beta=4/5. }
Una fuerza Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}=F_0\,\vec{\imath}} actúa sobre el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C} .
- Dibuja el diagrama de cuerpo libre del disco.
- Encuentra el valor de las fuerzas que actúan sobre el disco en situación de equilibrio estático.
- ¿Para qué valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0} el disco empiece a rotar alrededor del eje que pasa por Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} ?
- Si el valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0} es la solución del apartado anterior, ¿qué condición debe cumplir Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} para que el disco no deslice en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} ?
Solución
La figura de la derecha muestra las fuerzas que actúan sobre el disco. En cada esquina hay dos fuerzas vinculares radiales que se encargan de que el disco no penetre en la esquina. En el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} hay además una fuerza de rozamiento que intenta impedir que el disco resbale sobre la esquina derecha.
Las expresiones de las fuerzas son, observando donde aparece el ángulo Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \beta} en la figura,
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{lr} \vec{P} = -mg \,\vec{\jmath} = -4m_0\,\vec{\jmath} & (G)\\ &\\ \vec{A} = A\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + A\cos\beta\,\vec{\jmath} = \dfrac{4}{5}A\,\vec{\imath} + \dfrac{3}{5}A\,\vec{\jmath}& (A)\\ &\\ \vec{B} = -B\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\imath} + B\cos\beta\,\vec{\jmath} = -\dfrac{4}{5}B\,\vec{\imath} + \dfrac{3}{5}B\,\vec{\jmath}& (B)\\ &\\ \vec{B}_R = B_R\cos\beta\,\vec{\imath} + B_R\,\mathrm{sen}\,\beta\,\vec{\jmath} =\dfrac{3}{5}B_R\,\vec{\imath} + \dfrac{4}{5}\,B_R\,\vec{\jmath} & (B)\\ &\\ \vec{F} = F_0\,\vec{\imath} & (C) \end{array} }
Tenemos tres incógnitas: Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \{A, B, B_R\}} . Aplicamos las condiciones de equilibrio.
Sumatorio de fuerzas nulo
Obtenemos dos ecuaciones
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{P} + \vec{A} + \vec{B} + \vec{B}_R + \vec{F} = \vec{0} \to \left\{ \begin{array}{llr} X)\quad& 4A -4B + 3B_R = 0 & (1)\\ Y)\quad& 3A + 3B + 4B_R = 20m_0g & (2) \end{array} \right. }
Momento neto de fuerzas nulo
Calculamos el momento respecto del punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle G} . Sólo las fuerzas Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{F}} y Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \vec{B}_R} crean momento respecto de este punto.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{ll} \vec{M}_O = & \overrightarrow{GC}\times\vec{F} + \overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R= (F_0-B_R)R\,\vec{k} = \vec{0} \qquad (3)\\ & \overrightarrow{GC}\times\vec{F} = -F_0R\,\vec{k}\\ & \overrightarrow{GB}\times\vec{B}_R = B_RR\,\vec{k} \end{array} }
Estos momentos son fáciles de calcular porque los vectores implicados en los productos vectoriales son mutuamente perpendiculares.
Resolviendo las ecuaciones obtenemos las fuerzas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{A} = (2m_0g-F_0)\,\left(\dfrac{4}{3}\,\vec{\imath} + \vec{\jmath}\right)\\ \vec{B} = (10m_0g+F_0)\,\left(-\dfrac{4}{15}\,\vec{\imath} + \dfrac{1}{5}\,\vec{\jmath}\right)\\ \vec{B}_R = \dfrac{1}{5}\,F_0\,\left(3\,\vec{\imath} + 4\,\vec{\jmath}\right) \end{array} }
Valor de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0} para que el disco empiece a rotar
Esto ocurrirá cuando el disco se separe en el punto Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A} . Para que esto suceda debe anularse la fuerza vincular en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle A}
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{A}| = \dfrac{5}{3}\,|2m_0g-F_0|=0 -> F_0 = 2m_0g. }
Condición sobre Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mu} para que el disco no deslice
Cuando Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F_0=2m_0g} las fuerzas en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} son
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \begin{array}{l} \vec{B} = \dfrac{4}{5}m_0g\,\left(-4\,\vec{\imath} + 3\,\vec{\jmath}\right)\\ \vec{B}_R = \dfrac{2}{5}m_0g \,(3\,\vec{\imath}+ 4\,\vec{\jmath}) \end{array} }
La condición de no deslizamiento en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle B} es
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle |\vec{B}_R|> \mu|\vec{B}| \to \mu>1/2 }
