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Densidades de carga de polarización

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Momento dipolar)
(Momento dipolar)
Línea 37: Línea 37:
<center><math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} = \int_\tau \rho_p\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau+ \oint_{\partial\tau} \sigma_p\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}S</math></center>
<center><math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} = \int_\tau \rho_p\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau+ \oint_{\partial\tau} \sigma_p\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}S</math></center>
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<center><math>p_x = \int_\tau\rho_p\,x\,\mathrm{d}\tau+\oint_{\partial\tau}\sigma_p\,x\,\mathrm{d}S</math></center>
 
Tenemos, por un lado
Tenemos, por un lado
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y por otro
y por otro
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<center><math>\int_{\tau}\rho_p\,x\,\mathrm{d}\tau=-\int_{\tau}\nabla\cdot\mathbf{P}\,x\,\mathrm{d}\tau=-\int_\tau(\nabla(x\mathbf{p})-\mathbf{p}\cdot\nabla x)=-\oint_{\partial\tau}x\,\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}+\int_\tau \mathbf{P}\cdot\mathbf{u}_x\,\mathrm{d}\tau</math></center>
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<center><math>\int_{\tau}\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\rho_p\,\mathrm{d}\tau=-\int_{\tau}\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\nabla\cdot\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau=</math></center>
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Aplicando aquí las identidades
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<center><math>\nabla(\phi\mathbf{P}) = (\nabla\phi)\cdot\mathbf{P}+\phi\,nabla\cdot\mathbf{P}</math>{{qquad}}{{qquad}}<math>\nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{r})=\mathbf{A}</math></center>
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queda
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<center><math>-\int_{\tau}\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\nabla\cdot\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau=-\oint(\mathbf{A}\cdot\mathbf{r})\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}+\int_\tau \mathbf{A}\cdot\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau</math></center>
Sumando los dos términos se anulan las dos integrales de superficie y queda la de volumen
Sumando los dos términos se anulan las dos integrales de superficie y queda la de volumen
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p_x = \int_\tau \mathbf{P}\cdot
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<center><math>\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} = \int_\tau \mathbf{A}\cdot\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau</math></center>
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Y, puesto que <math>\mathbf{A}</math> es arbitrario, esta relación se cumple solo si
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<center><math>\mathbf{p} = \int_\tau \mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau</math></center>
==Ecxuaciones de la electrostática en dieléctricos==
==Ecxuaciones de la electrostática en dieléctricos==
[[Categoría:Comportamiento dieléctrico de la materia]]
[[Categoría:Comportamiento dieléctrico de la materia]]

Revisión de 17:46 30 ene 2010

Contenido

1 Introducción

2 Potencial debido a una polarización

3 Densidades de carga de polarización

3.1 Volumétrica

3.2 Superficial

4 Densidad de carga libre

5 Carga y momento de ρp y σp

Como a toda densidad de carga, a la de polarización se le puede calcular sus momentos multipolares, con el fin de aproximar el potencial que produce una distribución de dipolos en puntos alejados de ella.

5.1 Carga neta

La carga neta (momento monopolar) de una distribución de carga de polarización es siempre nula

Q_p=\int_\tau \rho_p\,\mathrm{d}\tau+\oint_{\partial\tau}\sigma_p\,\mathrm{d}S\equiv 0

Este resultado es una consecuencia de que la distribución de carga de polarización es equivalente a un conjunto de dipolos. Puesto que cada dipolo es eléctricamente neutro, la carga total del sistema es nula.

Podemos demostrar este resultado a partir de las definiciones de ρp y σp, por aplicación del teorema de Gauss. Por un lado tenemos que

\oint_{\partial\tau}\sigma_p\,\mathrm{d}S=\oint_{\partial\tau}\mathbf{P}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S=\oint_{\partial\tau}\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

y por otro

\int_{\tau}\rho_p\,\mathrm{d}\tau=-\int_{\tau}\nabla\cdot\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau=-\oint_{\partial\tau}\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

Sumando los dos términos

Q_p = \oint_{\partial\tau}\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}-\oint_{\partial\tau}\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S} = 0

5.2 Momento dipolar

El momento dipolar de la distribución de cargas de polarización equivale a la integral de la polarización

\mathbf{p}= \int_\tau \rho_p\,\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau+\oint_{\partial\tau}\sigma_p\,\mathbf{r}\,\mathrm{d}S \equiv\int_\tau\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau

De nuevo este resultado es elemental: si la polarización es la densidad de momento dipolar, su integral nos dará el momento dipolar total.

La demostración es similar a la anterior pero, al tratarse de vectores, es un poco más sofisticada. Consideraremos, para trabajar con escalares, el producto de \mathbf{p} por un vector constante \mathbf{A}, arbitrario. Por ser constante, este vector puede entrar dentro de las integrales:

\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} = \int_\tau \rho_p\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}\tau+ \oint_{\partial\tau} \sigma_p\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}S

Tenemos, por un lado

\oint_{\partial\tau}\sigma_p\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\mathrm{d}S=\oint_{\partial\tau}\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\mathbf{P}\cdot\mathbf{n}\,\mathrm{d}S=\oint_{\partial\tau}\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}

y por otro

\int_{\tau}\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\rho_p\,\mathrm{d}\tau=-\int_{\tau}\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\nabla\cdot\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau=

Aplicando aquí las identidades

\nabla(\phi\mathbf{P}) = (\nabla\phi)\cdot\mathbf{P}+\phi\,nabla\cdot\mathbf{P}        \nabla(\mathbf{A}\cdot\mathbf{r})=\mathbf{A}

queda

-\int_{\tau}\mathbf{A}\cdot\mathbf{r}\,\nabla\cdot\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau=-\oint(\mathbf{A}\cdot\mathbf{r})\mathbf{P}\cdot\mathrm{d}\mathbf{S}+\int_\tau \mathbf{A}\cdot\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau

Sumando los dos términos se anulan las dos integrales de superficie y queda la de volumen

\mathbf{A}\cdot\mathbf{p} = \int_\tau \mathbf{A}\cdot\mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau

Y, puesto que \mathbf{A} es arbitrario, esta relación se cumple solo si

\mathbf{p} = \int_\tau \mathbf{P}\,\mathrm{d}\tau

6 Ecxuaciones de la electrostática en dieléctricos

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