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Cuña en 2D y en 3D

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 20: Línea 20:
<center><math>T_1=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2</math></center>
<center><math>T_1=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2</math></center>
Para la del bloque que desliza tenemos movimiento tanto horizontal como vertical.  
Para la del bloque que desliza tenemos movimiento tanto horizontal como vertical.  
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<center><math>x_b=x_1+x_2\qquad\qquad y_b=b-x_2</math></center>
+
<center><math>x_b=x_1+x_2\qquad\qquad z_b=b-x_2</math></center>
por lo que
por lo que
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<center><math>T_2=\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\dot{x}_2^2\right)=\frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2+2\dot{x}_1\dot{x}_2+2\dot{x}_2^2\right)</math></center>
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<center><math>T_2=\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\dot{x}_2^2\right)</math></center>
lo que da la energía cinética total
lo que da la energía cinética total
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<center><math>T=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2+2\dot{x}_1\dot{x}_2+2\dot{x}_2^2\right)</math></center>
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<center><math>T=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\dot{x}_2^2\right)</math></center>
====Energía potencial====
====Energía potencial====
La energía potencial de la cuña es una constante, que se puede omitir de la lagrangiana. Para el bloque tenemos
La energía potencial de la cuña es una constante, que se puede omitir de la lagrangiana. Para el bloque tenemos
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<center><math>U=mgy_2=mg(b-x_2)\,</math></center>
+
<center><math>U=mgz_b=mg(b-x_2)\,</math></center>
====Lagrangiana====
====Lagrangiana====
Restando los dos términos anteriores
Restando los dos términos anteriores
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<center><math>\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2+2\dot{x}_1\dot{x}_2+2\dot{x}_2^2\right)-m_2g(b-x_2)</math></center>
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<center><math>\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\dot{x}_2^2\right)-m_2g(b-x_2)</math></center>
===Constantes de movimiento===
===Constantes de movimiento===
====Energía mecánica====
====Energía mecánica====
Todas las fuerzas que actúan en este sistema son conservativas, por lo que la energía mecánica es constante:
Todas las fuerzas que actúan en este sistema son conservativas, por lo que la energía mecánica es constante:
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<center><math>E=T+U=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2+2\dot{x}_1\dot{x}_2+2\dot{x}_2^2\right)+m_2g(b-x_2)</math></center>
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<center><math>E=T+U=\\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\dot{x}_2^2\right)+m_2g(b-x_2)</math></center>
====Momento conjugado de x<sub>1</sub>====
====Momento conjugado de x<sub>1</sub>====
La coordenada <math>x_1</math> es cíclica, ya que no aparece en la lagrangiana, por lo que su momento conjugado es constante
La coordenada <math>x_1</math> es cíclica, ya que no aparece en la lagrangiana, por lo que su momento conjugado es constante
Línea 50: Línea 50:
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Resolvcemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y resulta
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Resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y resulta
<center><math>\ddot{x}_1=-\frac{m}{m+2m_0}g\qquad\qquad \ddot{x}_2=\frac{m+m_0}{m+2m_0}g</math></center>
<center><math>\ddot{x}_1=-\frac{m}{m+2m_0}g\qquad\qquad \ddot{x}_2=\frac{m+m_0}{m+2m_0}g</math></center>
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==Caso 2D==
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===Lagrangiana===
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====Energía cinética====
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En el caso de que la cuña se mueva por el plano generalizamos lo anterior. La energía cinética de la cuña es ahora
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<center><math>T_1=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2)</math></center>
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Para la del bloque que desliza tenemos movimiento tanto horizontal como vertical.
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<center><math>x_b=x_1+x_2\qquad\qquad y_b=y_1+y_2\qquad\qquad z_b=b-x_2-y_2</math></center>
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por lo que
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<center><math>T_2=\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\left(\dot{y}_1+\dot{y}_2\right)^2+(\dot{x}_2+\dot{y}_2)^2\right)</math></center>
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lo que da la energía cinética total
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<center><math>T=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2)+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\left(\dot{y}_1+\dot{y}_2\right)^2+(\dot{x}_2+\dot{y}_2)^2\right)</math></center>
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====Energía potencial====
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La energía potencial de la cuña es una constante, que se puede omitir de la lagrangiana. Para el bloque tenemos
 +
<center><math>U=mgz_b=mg(b-x_2-y_2)\,</math></center>
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====Lagrangiana====
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Restando los dos términos anteriores
 +
<center><math>\frac{1}{2}m_0(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2)+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\left(\dot{y}_1+\dot{y}_2\right)^2+(\dot{x}_2+\dot{y}_2)^2\right)-m_2g(b-x_2-y_2)</math></center>
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===Constantes de movimiento===
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====Energía mecánica====
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Todas las fuerzas que actúan en este sistema son conservativas, por lo que la energía mecánica es constante:
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<center><math>\frac{1}{2}m_0(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2)+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\left(\dot{y}_1+\dot{y}_2\right)^2+(\dot{x}_2+\dot{y}_2)^2\right)+m_2g(b-x_2-y_2)</math></center>
 +
====Momento conjugado de x<sub>1</sub>====
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La coordenada <math>x_1</math> es cíclica, ya que no aparece en la lagrangiana, por lo que su momento conjugado es constante
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<center><math>p_{x_1}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_1}=m_0\dot{x}_1+m(\dot{x}_1+\dot{x}_2)</math></center>
 +
Esta cantidad no es más que la componente horizontal de la cantidad de movimiento.
 +
====Momento conjugado de y<sub>1</sub>====
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La coordenada <math>y_1</math> es también cíclica, ya que tampoco aparece en la lagrangiana, por lo que su momento conjugado es constante
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<center><math>p_{y_1}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{y}_1}=m_0\dot{y}_1+m(\dot{y}_1+\dot{y}_2)</math></center>
 +
Esta cantidad no es más que la componente horizontal de la cantidad de movimiento.
 +
===Aceleraciones===
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Aplicamos las ecuaciones de Lagrange. Para <math>x_1</math>
 +
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<center><math>0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_1}\right)-\overbrace{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1}}^{=0}=(m_0+m)\ddot{x}_1+m\ddot{x}_2=0</math></center>
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para <math>y_1</math>
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<center><math>0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{y}_1}\right)-\overbrace{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y_1}}^{=0}=(m_0+m)\ddot{y}_1+m\ddot{y}_2=0</math></center>
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para <math>x_2</math>
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<center><math>0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_2}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2}=m\ddot{x}_1+2m\ddot{x}_2+m\ddot{y}_2-mg=0
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y para <math>y_2</math>
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<center><math>0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{y}_2}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y_2}=m\ddot{y}_1+2m\ddot{y}_2+m\ddot{x}_2-mg=0
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</math></center>
 +
 +
Resolvemos este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y resulta
 +
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<center><math>\ddot{x}_1=-\frac{m}{2m+3m_0}g\qquad\qquad \ddot{x}_2=\frac{m+m_0}{2m+3m_0}g\qquad\qquad \ddot{y}_1=-\frac{m}{2m+3m_0}g\qquad\qquad \ddot{y}_2=\frac{m+m_0}{2m+3m_0}g</math></center>

Revisión de 12:23 19 sep 2021

Contenido

1 Enunciado

Considere, en primer lugar, el movimiento plano de dos cuerpos. Uno de ellos es una cuña de masa m0, de base b y ángulo en el vértice de 45°. El segundo es un bloque de masa m que puede deslizarse sin rozamiento sobre la cuña.

Empleando como coordenadas generalizadas las distancias horizontales de la cuña a una pared fija, x1, y la del bloque al borde de la cuña, x2, calcule:

  1. la lagrangiana del sistema.
  2. dos constantes de movimiento del sistema.
  3. las aceleraciones \ddot{x}_1 y \ddot{x}_2

Considere ahora la versión tridimensional de este problema: una cuña de masa m0 de base triangular, con lados horizontales de longitud b y altura b, siempre paralelos a los ejes (no se considera rotación de la cuña ni del bloque), y sobre esta cuña desliza sin rozamiento un bloque de masa m.

Empleando como coordenadas generalizadas las distancias horizontales (x1,y1) de la cuña a paredes fijas y (x2,y2) las del bloque al vértice de la cuña (la figura de la izquierda es la vista en planta), calcule:

  1. la lagrangiana del sistema.
  2. tres constantes de movimiento del sistema.
  3. las aceleraciones \ddot{x}_1, \ddot{y}_1, \ddot{x}_2 e \ddot{y}_2.

2 Caso 1D

2.1 Lagrangiana

2.1.1 Energía cinética

La energía cinética es suma de la de cada masa. La de la cuña es simplemente

T_1=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2

Para la del bloque que desliza tenemos movimiento tanto horizontal como vertical.

x_b=x_1+x_2\qquad\qquad z_b=b-x_2

por lo que

T_2=\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\dot{x}_2^2\right)

lo que da la energía cinética total

T=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\dot{x}_2^2\right)

2.1.2 Energía potencial

La energía potencial de la cuña es una constante, que se puede omitir de la lagrangiana. Para el bloque tenemos

U=mgz_b=mg(b-x_2)\,

2.1.3 Lagrangiana

Restando los dos términos anteriores

\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\dot{x}_2^2\right)-m_2g(b-x_2)

2.2 Constantes de movimiento

2.2.1 Energía mecánica

Todas las fuerzas que actúan en este sistema son conservativas, por lo que la energía mecánica es constante:

No se pudo entender (error de sintaxis): E=T+U=\\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\dot{x}_2^2\right)+m_2g(b-x_2)

2.2.2 Momento conjugado de x1

La coordenada x1 es cíclica, ya que no aparece en la lagrangiana, por lo que su momento conjugado es constante

p_1=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_1}=m_0\dot{x}_1+m(\dot{x}_1+\dot{x}_2)

Esta cantidad no es más que la componente horizontal de la cantidad de movimiento.

2.3 Aceleraciones

Aplicamos las ecuaciones de Lagrange. Para x1

0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_1}\right)-\overbrace{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1}}^{=0}=(m_0+m)\ddot{x}_1+m\ddot{x}_2=0

y para x2

0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_2}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2}=m\ddot{x}_1+2m\ddot{x}_2-mg=0

Resolvemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y resulta

\ddot{x}_1=-\frac{m}{m+2m_0}g\qquad\qquad \ddot{x}_2=\frac{m+m_0}{m+2m_0}g

3 Caso 2D

3.1 Lagrangiana

3.1.1 Energía cinética

En el caso de que la cuña se mueva por el plano generalizamos lo anterior. La energía cinética de la cuña es ahora

T_1=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2)

Para la del bloque que desliza tenemos movimiento tanto horizontal como vertical.

x_b=x_1+x_2\qquad\qquad y_b=y_1+y_2\qquad\qquad z_b=b-x_2-y_2

por lo que

T_2=\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\left(\dot{y}_1+\dot{y}_2\right)^2+(\dot{x}_2+\dot{y}_2)^2\right)

lo que da la energía cinética total

T=\frac{1}{2}m_0(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2)+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\left(\dot{y}_1+\dot{y}_2\right)^2+(\dot{x}_2+\dot{y}_2)^2\right)

3.1.2 Energía potencial

La energía potencial de la cuña es una constante, que se puede omitir de la lagrangiana. Para el bloque tenemos

U=mgz_b=mg(b-x_2-y_2)\,

3.1.3 Lagrangiana

Restando los dos términos anteriores

\frac{1}{2}m_0(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2)+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\left(\dot{y}_1+\dot{y}_2\right)^2+(\dot{x}_2+\dot{y}_2)^2\right)-m_2g(b-x_2-y_2)

3.2 Constantes de movimiento

3.2.1 Energía mecánica

Todas las fuerzas que actúan en este sistema son conservativas, por lo que la energía mecánica es constante:

\frac{1}{2}m_0(\dot{x}_1^2+\dot{y}_1^2)+\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\left(\dot{y}_1+\dot{y}_2\right)^2+(\dot{x}_2+\dot{y}_2)^2\right)+m_2g(b-x_2-y_2)

3.2.2 Momento conjugado de x1

La coordenada x1 es cíclica, ya que no aparece en la lagrangiana, por lo que su momento conjugado es constante

p_{x_1}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_1}=m_0\dot{x}_1+m(\dot{x}_1+\dot{x}_2)

Esta cantidad no es más que la componente horizontal de la cantidad de movimiento.

3.2.3 Momento conjugado de y1

La coordenada y1 es también cíclica, ya que tampoco aparece en la lagrangiana, por lo que su momento conjugado es constante

p_{y_1}=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{y}_1}=m_0\dot{y}_1+m(\dot{y}_1+\dot{y}_2)

Esta cantidad no es más que la componente horizontal de la cantidad de movimiento.

3.3 Aceleraciones

Aplicamos las ecuaciones de Lagrange. Para x1

0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_1}\right)-\overbrace{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1}}^{=0}=(m_0+m)\ddot{x}_1+m\ddot{x}_2=0

para y1

0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{y}_1}\right)-\overbrace{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y_1}}^{=0}=(m_0+m)\ddot{y}_1+m\ddot{y}_2=0

para x2

0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_2}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2}=m\ddot{x}_1+2m\ddot{x}_2+m\ddot{y}_2-mg=0

y para y2

0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{y}_2}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial y_2}=m\ddot{y}_1+2m\ddot{y}_2+m\ddot{x}_2-mg=0

Resolvemos este sistema de cuatro ecuaciones con cuatro incógnitas y resulta

\ddot{x}_1=-\frac{m}{2m+3m_0}g\qquad\qquad \ddot{x}_2=\frac{m+m_0}{2m+3m_0}g\qquad\qquad \ddot{y}_1=-\frac{m}{2m+3m_0}g\qquad\qquad \ddot{y}_2=\frac{m+m_0}{2m+3m_0}g
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