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Cuña en 2D y en 3D

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con 'Considere, en primer lugar, el movimiento plano de dos cuerpos. Uno de ellos es una cuña de masa <math>m_0</math>, de base <math>b</math> y ángulo en el vértice de 45°. El s…')
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==Enunciado==
Considere, en primer lugar, el movimiento plano de dos cuerpos. Uno de ellos es una cuña de masa <math>m_0</math>, de base <math>b</math> y ángulo en el vértice de 45°. El segundo es un bloque de masa <math>m</math> que puede deslizarse sin rozamiento sobre la cuña.
Considere, en primer lugar, el movimiento plano de dos cuerpos. Uno de ellos es una cuña de masa <math>m_0</math>, de base <math>b</math> y ángulo en el vértice de 45°. El segundo es un bloque de masa <math>m</math> que puede deslizarse sin rozamiento sobre la cuña.
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# tres constantes de movimiento del sistema.
# tres constantes de movimiento del sistema.
# las aceleraciones <math>\ddot{x}_1</math>, <math>\ddot{y}_1</math>, <math>\ddot{x}_2</math> e <math>\ddot{y}_2</math>.
# las aceleraciones <math>\ddot{x}_1</math>, <math>\ddot{y}_1</math>, <math>\ddot{x}_2</math> e <math>\ddot{y}_2</math>.
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==Caso 1D==
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===Lagrangiana===
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La energía cinética es suma de la de cada masa. La de la cuña es simplemente
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Para la del bloque que desliza tenemos movimiento tanto horizontal como vertical.
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====Energía potencial====
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La energía potencial de la cuña es una constante, que se puede omitir de la lagrangiana. Para el bloque tenemos
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<center><math>U=mgy_2=mg(b-x_2)\,</math></center>
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====Lagrangiana====
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Restando los dos términos anteriores
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<center><math>\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2+2\dot{x}_1\dot{x}_2+2\dot{x}_2^2\right)-m_2g(b-x_2)</math></center>
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===Constantes de movimiento===
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====Energía mecánica====
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Todas las fuerzas que actúan en este sistema son conservativas, por lo que la energía mecánica es constante:
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<center><math>E=T+U=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2+2\dot{x}_1\dot{x}_2+2\dot{x}_2^2\right)+m_2g(b-x_2)</math></center>
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====Momento conjugado de x<sub>1</sub>====
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La coordenada <math>x_1</math> es cíclica, ya que no aparece en la lagrangiana, por lo que su momento conjugado es constante
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<center><math>p_1=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_1}=m_0\dot{x}_1+m(\dot{x}_1+\dot{x}_2)</math></center>
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Esta cantidad no es más que la componente horizontal de la cantidad de movimiento.
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===Aceleraciones===
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Aplicamos las ecuaciones de Lagrange. Para <math>x_1</math>
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<center><math>0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_1}\right)-\overbrace{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1}}^{=0}=(m_0+m)\ddot{x}_1+m\ddot{x}_2=0</math></center>
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y para <math>x_2</math>
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<center><math>0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_2}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2}=m\ddot{x}_1+2m\ddot{x}_2-mg=0
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Resolvcemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y resulta
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<center><math>\ddot{x}_1=-\frac{m}{m+2m_0}g\qquad\qquad \ddot{x}_2=\frac{m+m_0}{m+2m_0}g</math></center>

Revisión de 22:48 16 sep 2021

Contenido

1 Enunciado

Considere, en primer lugar, el movimiento plano de dos cuerpos. Uno de ellos es una cuña de masa m0, de base b y ángulo en el vértice de 45°. El segundo es un bloque de masa m que puede deslizarse sin rozamiento sobre la cuña.

Empleando como coordenadas generalizadas las distancias horizontales de la cuña a una pared fija, x1, y la del bloque al borde de la cuña, x2, calcule:

  1. la lagrangiana del sistema.
  2. dos constantes de movimiento del sistema.
  3. las aceleraciones \ddot{x}_1 y \ddot{x}_2

Considere ahora la versión tridimensional de este problema: una cuña de masa m0 de base triangular, con lados horizontales de longitud b y altura b, siempre paralelos a los ejes (no se considera rotación de la cuña ni del bloque), y sobre esta cuña desliza sin rozamiento un bloque de masa m.

Empleando como coordenadas generalizadas las distancias horizontales (x1,y1) de la cuña a paredes fijas y (x2,y2) las del bloque al vértice de la cuña (la figura de la izquierda es la vista en planta), calcule:

  1. la lagrangiana del sistema.
  2. tres constantes de movimiento del sistema.
  3. las aceleraciones \ddot{x}_1, \ddot{y}_1, \ddot{x}_2 e \ddot{y}_2.

2 Caso 1D

2.1 Lagrangiana

2.1.1 Energía cinética

La energía cinética es suma de la de cada masa. La de la cuña es simplemente

T_1=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2

Para la del bloque que desliza tenemos movimiento tanto horizontal como vertical.

x_b=x_1+x_2\qquad\qquad y_b=b-x_2

por lo que

T_2=\frac{1}{2}m\left(\left(\dot{x}_1+\dot{x}_2\right)^2+\dot{x}_2^2\right)=\frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2+2\dot{x}_1\dot{x}_2+2\dot{x}_2^2\right)

lo que da la energía cinética total

T=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2+2\dot{x}_1\dot{x}_2+2\dot{x}_2^2\right)

2.1.2 Energía potencial

La energía potencial de la cuña es una constante, que se puede omitir de la lagrangiana. Para el bloque tenemos

U=mgy_2=mg(b-x_2)\,

2.1.3 Lagrangiana

Restando los dos términos anteriores

\mathcal{L}=T-U=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2+2\dot{x}_1\dot{x}_2+2\dot{x}_2^2\right)-m_2g(b-x_2)

2.2 Constantes de movimiento

2.2.1 Energía mecánica

Todas las fuerzas que actúan en este sistema son conservativas, por lo que la energía mecánica es constante:

E=T+U=\frac{1}{2}m_0\dot{x}_1^2+\frac{1}{2}m\left(\dot{x}_1^2+2\dot{x}_1\dot{x}_2+2\dot{x}_2^2\right)+m_2g(b-x_2)

2.2.2 Momento conjugado de x1

La coordenada x1 es cíclica, ya que no aparece en la lagrangiana, por lo que su momento conjugado es constante

p_1=\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_1}=m_0\dot{x}_1+m(\dot{x}_1+\dot{x}_2)

Esta cantidad no es más que la componente horizontal de la cantidad de movimiento.

2.3 Aceleraciones

Aplicamos las ecuaciones de Lagrange. Para x1

0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_1}\right)-\overbrace{\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_1}}^{=0}=(m_0+m)\ddot{x}_1+m\ddot{x}_2=0

y para x2

0=\frac{\mathrm{d}\ }{\mathrm{d}t}\left(\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial\dot{x}_2}\right)-\frac{\partial\mathcal{L}}{\partial x_2}=m\ddot{x}_1+2m\ddot{x}_2-mg=0

Resolvcemos este sistema de dos ecuaciones con dos incógnitas y resulta

\ddot{x}_1=-\frac{m}{m+2m_0}g\qquad\qquad \ddot{x}_2=\frac{m+m_0}{m+2m_0}g

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