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Coches frenando en una autopista

De Laplace

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Hemos usado la expresión de <math>d(t)</math> para el intervalo de tiempo <math>t<t_f</math> y los valores numéricos del apartado b.
Hemos usado la expresión de <math>d(t)</math> para el intervalo de tiempo <math>t<t_f</math> y los valores numéricos del apartado b.
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[[Categoría:Problemas de cinemática del movimiento rectilíneo]]

última version al 20:59 17 oct 2020

1 Enunciado

Dos coches ruedan por un tramo recto de autopista con la misma velocidad v0 y separados por una distancia d0. En un instante dado, el coche que va delante frena con aceleración uniforme de módulo a0 hasta quedar parado. El coche que va detrás tarda un tiempo tf en empezar a frenar con la misma aceleración que el primero.

  1. Determina como cambia la distancia entre los coches con el tiempo.
  2. Si t_f=0.30\,\mathrm{s}, v_0=120\,\mathrm{km/h} y a_0=1.50\,\mathrm{m/s^2}, calcula el valor mínimo de d0 para que los coches no colisionen.

2 Solución

El esquema mostrado a la derecha resume la situación descrita en el problema. En el instante inicial los dos coches tienen la misma velocidad y están separados una distancia d0. En ese instante el coche que va delante (representado por P2) empieza a frenar con aceleración constante a0. El coche que va detras (P1) sigue moviéndose con velocidad constante hasta el instante t = tf. A partir de ese instante empieza a frenar con la misma aceleración que el 2.

Escogemos como eje X la recta sobre la que se mueven los coches. Colocamos el origen en la posición del coche 1 en el instante incial. El coche 2 se mueve siempre con aceleración a0, su velocidad inicial es v0 y su posición inicial es d0. Como realiza un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado se tiene


P_2 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_2 = v_0 - a_0 t\\
\\
x_2 = d_0 - v_0t - \dfrac{1}{2}a_0 t^2
\end{array}
\right.

Para el coche 1 hay que considerar dos intervalos de tiempo, 0 < t < tf y t > tf. En el primero realiza un movimiento rectilíneo uniforme y en el segundo un movimiento rectilíneo uniformemente acelerado. Tenemos


P_1 \to
\left\{
\begin{array}{l}
v_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
 v_0 & 0<t\leq t_f\\
 v_0 - a_0(t-t_f)  & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\\
\\
x_1 =
\left\{
\begin{array}{ll}
 v_0t & 0<t\leq t_f\\
\\
 v_0t_f + v_0(t-t_f) - \dfrac{1}{2}a_0(t-t_f)^2  & t\geq t_f
\end{array}
\right.
\end{array}
\right.

En t = tf el coche 1 se encuentra en la coordenada v0tf y tiene velocidad v0. Este valor de tiempo es el instante inicial para el movimiento en el segundo intervalo de tiempo. Por eso en las fórmulas de movimiento uniformemente acelerado ponemos ttf en vez de tf.

Como se ve en el esquema la distancia entre los dos coches es


d(t) = x_2 - x_1 = 
\left\{
\begin{array}{ll}
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t^2 & 0<t\leq t_f\\
\\
d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f(2t-t_f) & t\geq t_f
\end{array}
\right.

Para cada intervalo hemos usado la expresión correspondiente de x1. La de x2 es la misma para todo tiempo. Se puede comprobar que si ponemos t = tf en las expresiones anteriores los dos valores coinciden, como debe ser.

El instante de tiempo en que se para el coche 2 es


v_2(t_s) = 0 \longrightarrow t_s = v_0/a_0.

El coche 1 empieza a frenar después de que el otro frene. Para que los dos coches no colisionen es necesario que en t = tsla distancia entre ellos sea mayor que cero. Escogiendo la expresión de d(t) para t > ts tenemos


d(t_s) = d_0 - v_0t_f + \dfrac{1}{2}a_0t_f^2>0

Pasando los dos últimos sumando a la derecha obtenemos la condición


d_0 > \dfrac{1}{2}t_f\,(2v_0-a_0t_f)

Usando los valores numéricos del apartado b obtenemos


d_0 = 9.92 \,\mathrm{m}.

Esta distancia corresponde a la longitud de dos coches, aproximadamente.

2.1 Comentario

Si el valor de d0 es lo bastante pequeño puede ocurrir que el coche 1 choque con el 2 antes de que empiece a frenar, es decir, en el intervalo t < tf. Para que esto no ocurra debe cumplirse


d(t) = d_0 - \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 > 0 
\longrightarrow
d_0 > \dfrac{1}{2}a_0t_f^2 = 6.75\,\mathrm{cm}.

Hemos usado la expresión de d(t) para el intervalo de tiempo t < tf y los valores numéricos del apartado b.

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