Entrar Página Discusión Historial Go to the site toolbox

Cilindro rodando sin deslizar (Dic. 2020)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 27: Línea 27:
#<math>\vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_0</math> , pues el eje <math>Y_0</math> forma un ángulo <math>\phi</math> con el eje <math>X_1</math>.
#<math>\vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_0</math> , pues el eje <math>Y_0</math> forma un ángulo <math>\phi</math> con el eje <math>X_1</math>.
#<math>\vec{v}^G_{20}=\vec{0}</math>, pues el centro del cilindro (sólido "2") y el origen del sistema de ejes "0" coinciden siempre.
#<math>\vec{v}^G_{20}=\vec{0}</math>, pues el centro del cilindro (sólido "2") y el origen del sistema de ejes "0" coinciden siempre.
-
#<math>\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0</math>, pues el eje <math>Y2</math> forma un ángulo <math>\theta</math> con el eje <math>Y_0</math>.
+
#<math>\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0</math>, pues el eje <math>Y_2</math> forma un ángulo <math>\theta</math> con el eje <math>Y_0</math>.
Con esto ya podemos encontrar las reducciones cinemáticas pedidas
Con esto ya podemos encontrar las reducciones cinemáticas pedidas
=== Movimiento {21} ===
=== Movimiento {21} ===
-
Tenemos <math>\vec{v}^{A}_{21}</math>. Obtenemos <math>\vec{\omega}_{21}</math> de la composición
+
Obtenemos <math>\vec{\omega}_{21}</math> de la composición
<center>
<center>
<math>
<math>
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} =  
\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} =  
\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0.
\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0.
 +
</math>
 +
</center>
 +
Como ya tenemos <math>\vec{v}^{A}_{21}=\vec{0}</math>,  aplicamos Chasles entre los puntos <math>A</math> y <math>G</math> para el movimiento {21}
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} =
 +
(\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0)\times
 +
(R\,\vec{k}_0) = -R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0.
 +
</math>
 +
</center>
 +
=== Movimiento {20} ===
 +
Este lo tenemos directamente del análisis del enunciado
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0, \qquad
 +
\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.
 +
</math>
 +
</center>
 +
 +
=== Movimiento {01} ===
 +
Tenemos <math>\vec{\omega}_{01}=\dot{\phi}\,\vec{k}_0</math> del análisis del enunciado. Obtenemos la velocidad en <math>G</math> usando las leyes de composición
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01}
 +
\to
 +
\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,G}_{21} - \vec{v}^{\,G}_{20}
 +
=
 +
-R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0.
 +
</math>
 +
</center>
 +
La velocidad <math>\vec{v}^{\,G}_{01}</math> también se puede obtener derivando respecto al tiempo el vector de posición
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{r}^{\,G}_{01} = \overrightarrow{O_1G} =
 +
x_1\,\vec{\imath}_1 + y_1\,\vec{\jmath}_1 + R\,\vec{k}_1.
 +
</math>
 +
</center>
 +
Este vector de posición se puede derivar porque apunta siempre al centro del cilindro. Haciendo la derivada tenemos
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{v}^{\,G}_{01} =
 +
\left.\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{O_1G}}{\mathrm{d}t} \right|_1
 +
=
 +
\dot{x}_1\,\vec{\imath}_1 + \dot{y}_1\,\vec{\jmath}_1.
 +
 +
</math>
 +
</center>
 +
Esta velocidad esta expresada en función de <math>x_1</math> e <math>y_1</math>- Hay una ligadura entre estas coordenadas y las coordenadas angulares. Para verla expresamos <math>\vec{\jmath}_0</math> en la base "1"
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{\jmath}_0 = \cos\phi\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.
 +
</math>
 +
</center>
 +
Con esto tenemos
 +
<center>
 +
<math>
 +
\vec{v}^{\,G}_{01}
 +
=
 +
-R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0
 +
=
 +
-R\dot{\theta}\cos\phi\,\vec{\imath}_1
 +
-R\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1
 +
</math>
 +
</center>
 +
Comparando las dos expresiones de <math>\vec{v}^{\,G}_{01}</math> obtenemos
 +
<center>
 +
<math>
 +
\dot{x}_1 = -R\dot{\theta}\cos\phi, \qquad
 +
\dot{y}_1 = -R\dot{\theta}\mathrm{sen}\phi.
</math>
</math>
</center>
</center>

Revisión de 19:18 21 dic 2020

Contenido

1 Enunciado

Un cilindro de radio R (sólido "2") rueda sin deslizar sobre un plano fijo O1X1Y1Z1 (sólido "1"). Los ejes GX2Y2Z2 son solidarios con el cilindro. Introducimos unos ejes auxiliares GX0Y0Z0 que cumplen las siguientes propiedades: el X0 es paralelo al eje del cilindro; el eje Z0 es perpendicular al plano fijo "1"; el ángulo que forma el eje Y0 con el eje X1 es φ. El punto A señala el punto geométrico en la vertical de G donde el cilindro está en contacto con el plano. Las coordenadas de este punto en los ejes "1" son x1, y1. Estas son también las coordenadas de G en el plano fijo. Los diagramas auxiliares indican los ángulos relevantes entre los diferentes sistemas de ejes.

  1. Encuentra la reducción cinemática en el punto G de los movimientos {01}, {20}, {21}. Expresa los resultados en la base "0" y usa el menor número de coordenadas posible.

2. Si el tensor de inercia del cilindro en G es de la forma


\overleftrightarrow{I_O}
=
\left[
\begin{array}{ccc}
I_{1} & 0 & 0 \\
0 & I_{2} & 0 \\
0 & 0 & I_{2}
\end{array}
\right]

con I1, I2 conocidos, calcula el momento cinético del cilindro en G y su energía cinética.

2 Solución

2.1 Reducciones cinemáticas en G

De la lectura atenta del enunciado deducimos los siguientes datos cinemáticos:

  1. \vec{v}^A_{21} = \vec{0}, pues el cilindro rueda sin deslizar sobre el plano "1".
  2. \vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_0 , pues el eje Y0 forma un ángulo φ con el eje X1.
  3. \vec{v}^G_{20}=\vec{0}, pues el centro del cilindro (sólido "2") y el origen del sistema de ejes "0" coinciden siempre.
  4. \vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0, pues el eje Y2 forma un ángulo θ con el eje Y0.

Con esto ya podemos encontrar las reducciones cinemáticas pedidas

2.1.1 Movimiento {21}

Obtenemos \vec{\omega}_{21} de la composición


\vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = 
\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0.

Como ya tenemos \vec{v}^{A}_{21}=\vec{0}, aplicamos Chasles entre los puntos A y G para el movimiento {21}


\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{AG} =
(\dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0)\times
(R\,\vec{k}_0) = -R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0.

2.1.2 Movimiento {20}

Este lo tenemos directamente del análisis del enunciado


\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0, \qquad
\vec{v}^{\,G}_{20} = \vec{0}.

2.1.3 Movimiento {01}

Tenemos \vec{\omega}_{01}=\dot{\phi}\,\vec{k}_0 del análisis del enunciado. Obtenemos la velocidad en G usando las leyes de composición


\vec{v}^{\,G}_{21} = \vec{v}^{\,G}_{20} + \vec{v}^{\,G}_{01}
\to
\vec{v}^{\,G}_{01} = \vec{v}^{\,G}_{21} - \vec{v}^{\,G}_{20}
=
-R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0.

La velocidad \vec{v}^{\,G}_{01} también se puede obtener derivando respecto al tiempo el vector de posición


\vec{r}^{\,G}_{01} = \overrightarrow{O_1G} = 
x_1\,\vec{\imath}_1 + y_1\,\vec{\jmath}_1 + R\,\vec{k}_1.

Este vector de posición se puede derivar porque apunta siempre al centro del cilindro. Haciendo la derivada tenemos


\vec{v}^{\,G}_{01} =
\left.\dfrac{\mathrm{d} \overrightarrow{O_1G}}{\mathrm{d}t} \right|_1
=
\dot{x}_1\,\vec{\imath}_1 + \dot{y}_1\,\vec{\jmath}_1.

Esta velocidad esta expresada en función de x1 e y1- Hay una ligadura entre estas coordenadas y las coordenadas angulares. Para verla expresamos \vec{\jmath}_0 en la base "1"


\vec{\jmath}_0 = \cos\phi\,\vec{\imath}_1 + \mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1.

Con esto tenemos


\vec{v}^{\,G}_{01} 
=
-R\dot{\theta}\,\vec{\jmath}_0
=
-R\dot{\theta}\cos\phi\,\vec{\imath}_1 
-R\dot{\theta}\mathrm{sen}\,\phi\,\vec{\jmath}_1

Comparando las dos expresiones de \vec{v}^{\,G}_{01} obtenemos


\dot{x}_1 = -R\dot{\theta}\cos\phi, \qquad
\dot{y}_1 = -R\dot{\theta}\mathrm{sen}\phi.

Herramientas:

Herramientas personales
TOOLBOX
LANGUAGES
licencia de Creative Commons
Aviso legal - Acerca de Laplace