Cilindro rodando sin deslizar (Dic. 2020)
De Laplace
(→Enunciado) |
|||
| Línea 21: | Línea 21: | ||
= Solución = | = Solución = | ||
| + | |||
| + | == Reducciones cinemáticas en <math>G</math> == | ||
| + | De la lectura atenta del enunciado deducimos los siguientes datos cinemáticos: | ||
| + | # <math>\vec{v}^A_{21} = \vec{0}</math>, pues el cilindro rueda sin deslizar sobre el plano "1". | ||
| + | #<math>\vec{\omega}_{01} = \dot{\phi}\,\vec{k}_0</math> , pues el eje <math>Y_0</math> forma un ángulo <math>\phi</math> con el eje <math>X_1</math>. | ||
| + | #<math>\vec{v}^G_{20}=\vec{0}</math>, pues el centro del cilindro (sólido "2") y el origen del sistema de ejes "0" coinciden siempre. | ||
| + | #<math>\vec{\omega}_{20} = \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0</math>, pues el eje <math>Y2</math> forma un ángulo <math>\theta</math> con el eje <math>Y_0</math>. | ||
| + | Con esto ya podemos encontrar las reducciones cinemáticas pedidas | ||
| + | === Movimiento {21} === | ||
| + | Tenemos <math>\vec{v}^{A}_{21}</math>. Obtenemos <math>\vec{\omega}_{21}</math> de la composición | ||
| + | <center> | ||
| + | <math> | ||
| + | \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01} = | ||
| + | \dot{\theta}\,\vec{\imath}_0 + \dot{\phi}\,\vec{k}_0. | ||
| + | </math> | ||
| + | </center> | ||
Revisión de 17:00 21 dic 2020
Contenido |
1 Enunciado
Un cilindro de radio R (sólido "2") rueda sin deslizar sobre un plano fijo O1X1Y1Z1 (sólido "1"). Los ejes GX2Y2Z2 son solidarios con el cilindro. Introducimos unos ejes auxiliares GX0Y0Z0 que cumplen las siguientes propiedades: el X0 es paralelo al eje del cilindro; el eje Z0 es perpendicular al plano fijo "1"; el ángulo que forma el eje Y0 con el eje X1 es φ. El punto A señala el punto geométrico en la vertical de G donde el cilindro está en contacto con el plano. Las coordenadas de este punto en los ejes "1" son x1, y1. Estas son también las coordenadas de G en el plano fijo. Los diagramas auxiliares indican los ángulos relevantes entre los diferentes sistemas de ejes.
- Encuentra la reducción cinemática en el punto G de los movimientos {01}, {20}, {21}. Expresa los resultados en la base "0" y usa el menor número de coordenadas posible.
2. Si el tensor de inercia del cilindro en G es de la forma
![\overleftrightarrow{I_O}
=
\left[
\begin{array}{ccc}
I_{1} & 0 & 0 \\
0 & I_{2} & 0 \\
0 & 0 & I_{2}
\end{array}
\right]](/wiki/images/math/8/f/3/8f3682532f8b4882ceeef260909de880.png)
con I1, I2 conocidos, calcula el momento cinético del cilindro en G y su energía cinética.
2 Solución
2.1 Reducciones cinemáticas en G
De la lectura atenta del enunciado deducimos los siguientes datos cinemáticos:
-
, pues el cilindro rueda sin deslizar sobre el plano "1".
, pues el eje Y0 forma un ángulo φ con el eje X1.
, pues el centro del cilindro (sólido "2") y el origen del sistema de ejes "0" coinciden siempre.
, pues el eje Y2 forma un ángulo θ con el eje Y0.
Con esto ya podemos encontrar las reducciones cinemáticas pedidas
2.1.1 Movimiento {21}
Tenemos 
. Obtenemos 
de la composición
