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Cilindro desenrrollándose en cuerda vertical, Enero 2018 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Tensión en la cuerda)
(Página blanqueada)
 
Línea 1: Línea 1:
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= Enunciado =
 
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[[Imagen:F1GIERM_yoyo_enunciado.png|right]]
 
-
Un disco homogéneo de masa <math>m</math> y radio <math>R</math> se desenrolla bajo la acción de la
 
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gravedad sobre una cuerda vertical,
 
-
como se indica en la figura, de forma que la velocidad del punto de contacto del disco
 
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con la cuerda es siempre nula. La cuerda se mantiene siempre vertical. El punto <math>O</math> al
 
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que está atada la cuerda es un punto fijo.
 
-
#Escribe el vector de posición, velocidad y aceleración del centro del disco.  ¿Cuál es la relación entre la velocidad del centro del disco y su velocidad de rotación?
 
-
#En el instante inicial el disco está en reposo con <math>x(0)=0</math>. Calcula la velocidad del centro del disco en función de su posición.
 
-
#Calcula la fuerza neta que actúa sobre el disco y la tensión de la cuerda.
 
-
= Solución =
 
-
 
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== Vectores del centro del disco ==
 
-
Los vectores de posición, velocidad y aceleración del centro del disco son
 
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<center>
 
-
<math>
 
-
\begin{array}{l}
 
-
\vec{r}_{G} = \overrightarrow{OG} = x\,\vec{\imath} + R\,\vec{\jmath},\\
 
-
\\
 
-
\vec{v}_{G} = \dot{\vec{r}}_G = \dot{x}\,\vec{\imath},\\
 
-
\\
 
-
\vec{a}_{G} = \dot{\vec{v}}_G = \ddot{x}\,\vec{\imath}.
 
-
\end{array}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
La velocidad del punto <math>A</math> del disco es nula en cada instante: <math>\vec{v}^{\,A}=\vec{0}</math>. Usando la ecuación del campo de velocidades del sólido tenemos
 
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<center>
 
-
<math>
 
-
\vec{v}^{\,G} =  \vec{v}^{\,A} + \vec{\omega}\times\overrightarrow{AG}
 
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=
 
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(\omega\,\vec{k})\times(R\,\vec{\jmath}) = -R\omega\,\vec{\imath}.
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Comparando con la expresión anterior vemos que
 
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<center>
 
-
<math>
 
-
\vec{\omega} = -\dfrac{\dot{x}}{R}\,\vec{k} = -\dfrac{v_G}{R}\,\vec{k}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Vamos a usar <math>v_G=\dot{x}</math>.
 
-
 
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== Velocidad del centro en función de la posición ==
 
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El disco está sometido a dos fuerzas: el peso, que es conservativa, y la fuerza ejercida por
 
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la cuerda, que no lo es. Pero esta última no hace trabajo, pues el punto donde se aplica, <math>A</math>, no tiene velocidad. Entonces se conserva la energía mecánica.
 
-
 
-
La energía mecánica del disco es la suma de su energía cinética y su energía potencial. La
 
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energía cinética tiene dos componentes: la de traslación del centro de masas y la de rotación
 
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alrededor del centro de masas.
 
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<center>
 
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<math>
 
-
T = \dfrac{1}{2}mv_G^2 + \dfrac{1}{2}I\omega^2
 
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</math>
 
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</center>
 
-
Aquí, <math>I</math> es el momento de inercia del disco respecto a un eje perpendicular a él
 
-
que pasa por su centro. Usando el apartado anterior tenemos
 
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<center>
 
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<math>
 
-
T = \dfrac{1}{2}\,\left(m+\dfrac{I}{R^2}\right)v_G^2
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
La energía potencial es la debida a la gravedad. Tomando como referencia la altura <math>x=0</math> tenemos
 
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<center>
 
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<math>
 
-
U = U_g = -mgx.
 
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</math>
 
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</center>
 
-
El signo es negativo pues la coordenada <math>x</math> crece hacia abajo. Así pues, la energía
 
-
mecánica en cualquier instante es
 
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<center>
 
-
<math>
 
-
E =  \dfrac{1}{2}\,\left(m+\dfrac{I}{R^2}\right)v_G^2 - mgx.
 
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</math>
 
-
</center>
 
-
En el instante inicial el disco está en reposo y <math>x=0</math>. por tanto
 
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<center>
 
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<math>
 
-
E(t=0) = 0.
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Como se conserva tenemos
 
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<center>
 
-
<math>
 
-
\dfrac{1}{2}\,\left(m+\dfrac{I}{R^2}\right)v_G^2 - mgx = 0
 
-
\Longrightarrow
 
-
v_G^2 = \dfrac{2mgx}{m+I/R^2} = \dfrac{2gx}{1+I/mR^2}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Para un disco <math>I = mR^2/2</math>, entonces
 
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<center>
 
-
<math>
 
-
v_G = \dot{x} = \sqrt{\dfrac{4gx}{3}}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
== Tensión en la cuerda ==
 
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[[Imagen:F1GIERM_yoyo_fuerzas.png|right]]
 
-
El Teorema del Centro de Masas aplicado sobre el disco  nos da
 
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<center>
 
-
<math>
 
-
m\vec{a}_G = \vec{P} + \vec{T}
 
-
\Longrightarrow
 
-
\vec{T} = m\vec{a}_G - \vec{P}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
El peso es
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\vec{P} = mg\,\vec{\imath}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
La aceleración es
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\vec{a}_G = \dot{v}_G\,\vec{\imath}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Del apartado anterior, usando la regla de la cadena
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\dot{v}_G = \dfrac{\mathrm{d}v_G}{\mathrm{d}x}\,\dot{x} = \sqrt{\dfrac{g}{3x}}\,\dot{x}
 
-
= \dfrac{2g}{3}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Es decir, el centro del disco realiza un movimiento uniformemente acelerado con aceleración
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\vec{a}_G = \dfrac{2g}{3}\,\vec{\imath}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Entonces la tensión de la cuerda es
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\vec{T} = m\vec{a}_G - \vec{P} = -\dfrac{1}{3}\,mg\,\vec{\imath}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
La fuerza neta sobre el disco es
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\vec{F}_T = m\vec{a}_G = \dfrac{2mg}{3}\,\vec{\imath}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
 
-
== Resolución alternativa ==
 
-
El problema puede resolverse también usando los Teoremas del Centro de Masas y del
 
-
Momento Cinético aplicados al disco.
 
-
 
-
La figura del apartado anterior muestra el diagrama de cuerpo libre del disco. El Teorema
 
-
del Centro de Masas nos dice
 
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<center>
 
-
<math>
 
-
m\vec{a}_G = \vec{P} + \vec{T}
 
-
\Longrightarrow
 
-
ma_G = mg - T
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
El Teorema del Momento Cinético aplicado en el centro del disco nos da
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t} = \vec{M}_G = \overrightarrow{GA}\times\vec{T}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
El momento cinético es
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\vec{L}_G = I\vec{\omega} \Longrightarrow
 
-
\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t} = I\vec{\alpha} = I\alpha\,\vec{k} =
 
-
I\dot{\omega}\,\vec{k} = -I\dfrac{a_G}{R}\,\vec{k}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
El momento es
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
\overrightarrow{GA}\times\vec{T} = (-R\,\vec{\jmath})\times(-T\,\vec{\imath}) = -RT\,\vec{k}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Entonces
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
I\dfrac{a_G}{R} = RT \Longrightarrow T = \dfrac{I}{R^2}a_G
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Sustituyendo en la ecuación obtenida del Teorema del Centro de Masas obtenemos
 
-
<center>
 
-
<math>
 
-
a_G = g - \dfrac{T}{m} = g - \dfrac{I}{mR^2}a_G
 
-
\Longrightarrow
 
-
a_G = \dfrac{g}{1+I/mR^2}
 
-
</math>
 
-
</center>
 
-
Sustituyendo el valor de <math>I</math> reobtenemos la solución anterior para la aceleración.
 
-
 
-
 
-
[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido]]
 
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[[Categoría:Problemas de Examen de Física I (G.I.E.R.M.)]]
 
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[[Categoría:Física I (G.I.E.R.M.)]]
 

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