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Campo magnético en el eje de una espira circular

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 24: Línea 24:
<center><math>\vec{B}=
<center><math>\vec{B}=
\frac{\mu_0I_0}{4\pi}
\frac{\mu_0I_0}{4\pi}
-
\int_{0}^{2\pi} \frac{b\left(-\mathrm{sen}(\theta')\vec{\imath}+\cos(\theta')\vec{\jmath}\right)\times\left(-b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}+z\vec{k}\right)}{\left(b^2+z^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I_0}{4\pi(b^2+z^2)^{3/2}}\left(bz\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'+bz\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+b^2\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'</math></center>
+
\int_{0}^{2\pi} \frac{b\left(-\mathrm{sen}(\theta')\vec{\imath}+\cos(\theta')\vec{\jmath}\right)\times\left(-b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}+z\vec{k}\right)}{\left(b^2+z^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I_0}{4\pi(b^2+z^2)^{3/2}}\left(bz\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'+bz\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+b^2\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'\right)</math></center>
Las dos primeras integrales se anulan y queda, finalmente,
Las dos primeras integrales se anulan y queda, finalmente,

Revisión de 13:51 13 may 2022

1 Enunciado

Halle, por integración directa, el campo magnético en los puntos del eje de una espira circular de radio b, por la cual circula una corriente I0. ¿Cuánto vale aproximadamente este campo en puntos alejados (z\gg b)?

2 Solución

El campo magnético creado por una línea de corriente, según la ley de Biot y Savart, es

\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}\times\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^3}

donde:

  • \vec{r} es la posición de los puntos donde queremos hallar el campo. En este caso
\vec{r}=z\vec{k}
  • \vec{r}^{\,\prime} es la posición de los puntos se encuentran las corrientes. En este caso
\vec{r}^{\,\prime}=b\left(\cos(\theta')\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \theta'\in(0,2\pi)
  • \mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime} es un diferencial de camino a lo largo de la corriente
\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}=b\left(-\mathrm{sen}(\theta')\vec{\imath}+\cos(\theta')\vec{\jmath}\right)\mathrm{d}\theta'
  • \vec{r}-\vec{r}^{\,\prime} es el vector de posición relativa entre un punto de la corriente y el punto de observación
\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}=-b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}+z\vec{k}
  • |\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}| es la distancia entre un punto de la corriente y el punto de observación
|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=\sqrt{b^2+z^2}
Este resultado simplemente expresa que todos los puntos de la espira circular están a la misma distancia

Por tanto, tenemos

\vec{B}=
\frac{\mu_0I_0}{4\pi}
\int_{0}^{2\pi} \frac{b\left(-\mathrm{sen}(\theta')\vec{\imath}+\cos(\theta')\vec{\jmath}\right)\times\left(-b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}+z\vec{k}\right)}{\left(b^2+z^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I_0}{4\pi(b^2+z^2)^{3/2}}\left(bz\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'+bz\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+b^2\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'\right)

Las dos primeras integrales se anulan y queda, finalmente,

\vec{B}=\frac{\mu_0 I_0b^2}{2(b^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}

Este campo magnético en el eje OZ va siempre a lo largo del propio eje, con un sentido dado por la regla de la mano derecha.

Posee un valor máximo en el centro de la espira, igual a,

\vec{B}(z=0)=\frac{\mu_0 I_0}{2b}\vec{k}

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