Campo magnético en el eje de una espira circular

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:51 13 may 2022

1 Enunciado

Halle, por integración directa, el campo magnético en los puntos del eje de una espira circular de radio b, por la cual circula una corriente $I 0$ . ¿Cuánto vale aproximadamente este campo en puntos alejados ( $z\gg b$ )?

2 Solución

El campo magnético creado por una línea de corriente, según la ley de Biot y Savart, es

$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}\times\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^3}$

donde:

$\vec{r}$ es la posición de los puntos donde queremos hallar el campo. En este caso

$\vec{r}=z\vec{k}$

$\vec{r}^{\,\prime}$ es la posición de los puntos se encuentran las corrientes. En este caso

$\vec{r}^{\,\prime}=b\left(\cos(\theta')\vec{\imath}+\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}\right)\qquad\qquad \theta'\in(0,2\pi)$

$\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}$ es un diferencial de camino a lo largo de la corriente

$\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}=b\left(-\mathrm{sen}(\theta')\vec{\imath}+\cos(\theta')\vec{\jmath}\right)\mathrm{d}\theta'$

$\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}$ es el vector de posición relativa entre un punto de la corriente y el punto de observación

$\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}=-b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}+z\vec{k}$

$|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|$ es la distancia entre un punto de la corriente y el punto de observación

$|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=\sqrt{b^2+z^2}$

Este resultado simplemente expresa que todos los puntos de la espira circular están a la misma distancia

Por tanto, tenemos

No se pudo entender (error de sintaxis): \vec{B}= \frac{\mu_0I_0}{4\pi} \int_{0}^{2\pi} \frac{b\left(-\mathrm{sen}(\theta')\vec{\imath}+\cos(\theta')\vec{\jmath}\right)\times\left(-b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}+z\vec{k}\right)}{\left(b^2+z^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I_0}{4\pi(b^2+z^2)^{3/2}}\left(bz\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'+bz\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+b^2\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'

Las dos primeras integrales se anulan y queda, finalmente,

$\vec{B}=\frac{\mu_0 I_0b^2}{2(b^2+z^2)^{3/2}}\vec{k}$

Este campo magnético en el eje OZ va siempre a lo largo del propio eje, con un sentido dado por la regla de la mano derecha.

Posee un valor máximo en el centro de la espira, igual a,

$\vec{B}(z=0)=\frac{\mu_0 I_0}{2b}\vec{k}$

@@ Línea 22: / Línea 22: @@
 Por tanto, tenemos
-<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I_0}{4\pi}\int_{0}^{2\pi} \frac{b\left(-\mathrm{sen}(\theta')\vec{\imath}+\cos(\theta')\vec{\jmath}\right)\times\left(-b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}+z\vec{k}}{\left(b^2+z^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I_0}{4\pi(b^2+z^2)^{3/2}}\left(bz\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'+bz\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+b^2\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'</math></center>
+<center><math>\vec{B}=
+\frac{\mu_0I_0}{4\pi}
+\int_{0}^{2\pi} \frac{b\left(-\mathrm{sen}(\theta')\vec{\imath}+\cos(\theta')\vec{\jmath}\right)\times\left(-b\cos(\theta')\vec{\imath}-b\,\mathrm{sen}(\theta')\vec{\jmath}+z\vec{k}\right)}{\left(b^2+z^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I_0}{4\pi(b^2+z^2)^{3/2}}\left(bz\vec{\imath}\int_0^{2\pi}\cos(\theta')\mathrm{d}\theta'+bz\vec{\jmath}\int_0^{2\pi}\mathrm{sen}(\theta')\mathrm{d}\theta'+b^2\vec{k}\int_0^{2\pi}\mathrm{d}\theta'</math></center>
 Las dos primeras integrales se anulan y queda, finalmente,

Campo magnético en el eje de una espira circular

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