Campo magnético debido a un segmento

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)

Revisión de 13:34 12 may 2022

1 Enunciado

Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente $I 0$ , en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el punto de medición del campo en $\overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath}$ y el segmento sobre el eje OZ extendiéndose desde $\overrightarrow{OA}=z_1 \vec{k}$ a $\overrightarrow{OB}=z_2 \vec{k}$ (con la corriente de A a B). Posteriormente generalícese el resultado, con ayuda de las coordenadas cilíndricas.

2 Solución

El campo magnético creado por una línea de corriente, según la ley de Biot y Savart, es

$\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}\times\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^3}$

donde:

$\vec{r}$ es la posición de los puntos donde queremos hallar el campo. En este caso

$\vec{r}=x\vec{\imath}$

$\vec{r}^{\,\prime}$ es la posición de los puntos se encuentran las corrientes. En este caso

$\vec{r}^{\,\prime}=z'\vec{k}\qquad\qquad z'\in(z_1,z_2)$

$\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}$ es un diferencial de camino a lo largo de la corriente

$\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}=\mathrm{d}z'\vec{k}$

$\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}$ es el vector de posición relativa entre un punto de la corriente y el punto de observación

$\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}=x\vec{\imath}-z'\vec{k}$

$|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|$ es la distancia entre un punto de la corriente y el punto de observación

$|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=\sqrt{x^2+z'^2}$

Por tanto, tenemos

$\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{(\mathrm{d}z'\vec{k})\times\left(x\vec{\imath}-z'\vec{k}\right)}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{(x\,\mathrm{d}z'\vec{\jmath})}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0Ix\vec{\jmath}}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{\mathrm{d}z'}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}$

Para hacer esta integral hacemos, como en otras ocasiones, el cambio de variable

$z'=x\,\mathrm{tg}(\alpha)\qquad\Rightarrow\qquad \mathrm{d}z'=\frac{x\,\mathrm{d}\alpha}{\cos^2(\alpha)}\qquad\qquad \sqrt{x^2+z'^2}=\frac{x}{\cos(\alpha)}$

que convierte la integral en una inmediata

$\vec{B}=\frac{\mu_0Ix\vec{\jmath}}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{\mathrm{d}z'}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I\vec{\jmath}}{4\pi x}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos(\alpha)\mathrm{d}\alpha = \frac{\mu_0I}{4\pi x}(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\mathrm{sen}(\alpha_1))\vec{\jmath}$

$α 1$ y $α 2$ son los ángulos con los que se ven, desde el punto de observación, el extremo inicial del segmento (por donde entra la corriente) y el final (por donde sale). Estos senos son iguales a

$\mathrm{sen}(\alpha_2)=\frac{z_2}{\sqrt{x^2+z_2^2}}\qquad\qquad \mathrm{sen}(\alpha_1)=\frac{z_1}{\sqrt{x^2+z_1^2}}$

3 Generalización del resultado

El cálculo anterior está hecho suponiendo el punto de observación en el eje OX. Este resultado puede generalizarse a cualquier punto del espacio, de la siguiente manera:

La coordenada $x$ no es más que la distancia del punto P a la recta donde se encuentra el segmento. Empleando coordenadas cilíndricas, si el segmento está en el eje OZ, esta distancia es la coordenada ρ.
El vector $\vec{\jmath}$ es el perpendicular al eje de la varilla y al vector de posición, cumpliéndose la regla de la mano derecha respecto al sentido de la corriente. En general, este vector es $\vec{u}_\theta$
Si el punto de observación no está en $z = 0$ sino en un valor arbitrario de $z$ , hay que sustituir en el resultado $z 1$ por $(z 1 - z)$ y $z 2$ `por $(z 2 - z)$ .

La expres en cilíndricas del campo magnético creado por un segmento rectilíneo situado en el eje OZ es entonces

$\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi \rho}(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\mathrm{sen}(\alpha_1))\vec{u}_\theta$

con

$\mathrm{sen}(\alpha_2)=\frac{z_2-z}{\sqrt{\rho^2+(z_2-z)^2}}\qquad\qquad \mathrm{sen}(\alpha_1)=\frac{z_1-z}{\sqrt{\rho^2+(z_1-z)^2}}$

@@ Línea 29: / Línea 29: @@
 que convierte la integral en una inmediata
-<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0Ix\vec{\jmath}}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{\mathrm{d}z'}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I\vec{\jmath}}{4\pi x}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos(\alpha)\mathrm{d}\alpha = \frac{\mu_0I}{4\pi x}(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\sen(\alpha_1))\vec{\jmath}</math></center>
+<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0Ix\vec{\jmath}}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{\mathrm{d}z'}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I\vec{\jmath}}{4\pi x}\int_{\alpha_1}^{\alpha_2}\cos(\alpha)\mathrm{d}\alpha = \frac{\mu_0I}{4\pi x}(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\mathrm{sen}(\alpha_1))\vec{\jmath}</math></center>
 <math>\alpha_1</math> y <math>\alpha_2</math> son los ángulos con los que se ven, desde el punto de observación, el extremo inicial del segmento (por donde entra la corriente) y el final (por donde sale). Estos senos son iguales a
@@ Línea 43: / Línea 43: @@
 La expres en cilíndricas del campo magnético creado por un segmento rectilíneo situado en el eje OZ es entonces
-<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi \rho}(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\sen(\alpha_1))\vec{u}_\theta</math></center>
+<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi \rho}(\mathrm{sen}(\alpha_2)-\mathrm{sen}(\alpha_1))\vec{u}_\theta</math></center>
 con
 <center><math>\mathrm{sen}(\alpha_2)=\frac{z_2-z}{\sqrt{\rho^2+(z_2-z)^2}}\qquad\qquad \mathrm{sen}(\alpha_1)=\frac{z_1-z}{\sqrt{\rho^2+(z_1-z)^2}}</math></center>

Campo magnético debido a un segmento

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