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Campo magnético debido a un segmento

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '==Enunciado== Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente <math>I_0</math>, en cualquier punto del espacio. …')
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El campo magnético creado por una línea de corriente, según la ley de Biot y Savart, es
El campo magnético creado por una línea de corriente, según la ley de Biot y Savart, es
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<center><math>\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\vec{r}^\prime\times\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^3}</math></center>
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<center><math>\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}\times\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^3}</math></center>
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donde:
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* <math>\vec{r}</math> es la posición de los puntos donde queremos hallar el campo. En este caso
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* <math>\vec{r}^{\,\prime}</math> es la posición de los puntos se encuentran las corrientes. En este caso
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<center><math>\vec{r}^{\,\prime}=z'\vec{k}\qquad\qquad z'\in(z_1,z_2)</math></center>
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* <math>\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}</math> es un diferencial de camino a lo largo de la corriente
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<center><math>\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}=\mathrm{d}z'\vec{k}</math></center>
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* <math>\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}</math> es el vector de posición relativa entre un punto de la corriente y el punto de observación
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<center><math>\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}=x\vec{\imath}-z'\vec{k}</math></center>
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* <math>|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|</math> es la distancia entre un punto de la corriente y el punto de observación
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<center><math>|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=\sqrt{x^2+z'^2}</math></center>
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Por tanto, tenemos
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<center><math>\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{(\mathrm{d}z'\vec{k})\times\left(x\vec{\imath}-z'\vec{k}\right)}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{(x\,\mathrm{d}z'\vec{\jmath})}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}</math></center>

Revisión de 10:50 12 may 2022

1 Enunciado

Halle el campo magnético producido por un segmento rectilíneo, por el cual circula una intensidad de corriente I0, en cualquier punto del espacio. Para fijar ideas, sitúese el punto de medición del campo en \overrightarrow{OP}=\vec{r}=x\vec{\imath} y el segmento sobre el eje OZ extendiéndose desde \overrightarrow{OA}=z_1 \vec{k} a \overrightarrow{OB}=z_2 \vec{k} (con la corriente de A a B). Posteriormente generalícese el resultado, con ayuda de las coordenadas cilíndricas.

2 Solución

El campo magnético creado por una línea de corriente, según la ley de Biot y Savart, es

\vec{B}(\vec{r})=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int \frac{\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}\times\left(\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right)}{\left|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}\right|^3}

donde:

  • \vec{r} es la posición de los puntos donde queremos hallar el campo. En este caso
\vec{r}=x\vec{\imath}
  • \vec{r}^{\,\prime} es la posición de los puntos se encuentran las corrientes. En este caso
\vec{r}^{\,\prime}=z'\vec{k}\qquad\qquad z'\in(z_1,z_2)
  • \mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime} es un diferencial de camino a lo largo de la corriente
\mathrm{d}\vec{r}^{\,\prime}=\mathrm{d}z'\vec{k}
  • \vec{r}-\vec{r}^{\,\prime} es el vector de posición relativa entre un punto de la corriente y el punto de observación
\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}=x\vec{\imath}-z'\vec{k}
  • |\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}| es la distancia entre un punto de la corriente y el punto de observación
|\vec{r}-\vec{r}^{\,\prime}|=\sqrt{x^2+z'^2}

Por tanto, tenemos

\vec{B}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{(\mathrm{d}z'\vec{k})\times\left(x\vec{\imath}-z'\vec{k}\right)}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}=\frac{\mu_0I}{4\pi}\int_{z_1}^{z_2} \frac{(x\,\mathrm{d}z'\vec{\jmath})}{\left(x^2+z'^2\right)^{3/2}}

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