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Campo eléctrico y ley de Gauss (GIE)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Campo de cargas puntuales)
(Campo de cargas puntuales)
Línea 124: Línea 124:
<center><math>\oint_S E(r)\,\mathrm{d}S = E(r) S = 4\pi r^2 E = \frac{q}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{q}{4\pi r^2}\vec{u}_r</math></center>
<center><math>\oint_S E(r)\,\mathrm{d}S = E(r) S = 4\pi r^2 E = \frac{q}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{q}{4\pi r^2}\vec{u}_r</math></center>
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Más en general, si tenemos la carga en un cierto punto A, el campo que produce en un punto P es
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<center><math>\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{d_{AP}^2}\vec{u}_{AP}</math></center>
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En función de los vectores de posición
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<center><math>d_{AP}=|\vec{r}_P-\vec{r}_A|\qquad\qquad \vec{u}_{AP}=\frac{(\vec{r}_P-\vec{r}_A)}{|\vec{r}_P-\vec{r}_A}|}\qquad\qquad \vec{E}_P=\frac{q(\vec{r}_P-\vec{r}_a)}{4\pi\varepsilon_0|\vec{r}_P-\vec{r}_A|^3}</math></center>
==Campo de una distribución de carga==
==Campo de una distribución de carga==

Revisión de 12:18 26 may 2012

Contenido

1 Concepto de electrostática

La electrostática estudia los campos eléctricos y fuerzas debidas a cargas en reposo. Si además es “en el vacío” queiere decir que se consideran las cargas flotando en un espacio vacío. Puesto que más del 99% de la materia es realmente vacío, es un punto de partida adecuado. Los medios materiales (conductores o dieléctricos) pueden añadirse más tarde, como conjunto de cargas en el vacío.

En la electrostática en el vacío, los campos eléctricos son independientes dle tiempo y no hay campos magnéticos presentes. Esto reduce la ley de Lorentz para una carga puntual a solo la fuerza eléctrica

\vec{F}=q\vec{E}(\vec{r})

y puesto que consideramos cargas en reposo suponemos que esta fuerza se encuentra compensada por alguna otra, de forma que la resultante es nula.

2 Campo eléctrico

Entendemos el campo eléctrostático como una perturbación en el espacio producida por la presencia de cargas eléctricas en reposo

Archivo:campo-carga-positiva.png Archivo:campo-carga-negativa.png
Archivo:campo-dipolo-electrico.png Archivo:campo-cuatro-cargas.png

(ilustraciones obra de Geek3 para Wikipedia).

El campo es un concepto primario. No se puede describir qué es el campo eléctrico, sino solo qué efectos produce sobre otras cargas.

Puede definirse de una manera operativa, esto es, dando un procedimiento para su medida. Para ello se considera una carga muy pequeña q0 y se sitúa en un campo eléctrico. Con la medida de un dinamómetro se mide la fuerza sobre ella. Se define el campo eléctrico en la posición de la carga como

\vec{E}(\vec{r})=\lim_{q_0\to 0}\frac{\vec{F}}{q_0}

El límite se toma porque idealmente se considera que la carga que se coloca no debe afectar a lo que ya había, para lo cual debe ser lo más pequeña posible.

3 Líneas de campo eléctrico

Como con cualquier otro campo, se pueden trazar las líneas de campo eléctrico, como aquellas curvas que son tangentes al campo eléctrico en cada punto. Estas curvas son soluciones de la ecuación diferencial

\mathrm{d}\vec{r}=\vec{E}(\vec{r})\,\mathrm{d}\theta\qquad\Rightarrow\qquad \frac{\mathrm{d}\vec{r}}{\mathrm{d}\theta}=\vec{E}(\vec{r})

siendo θ un parámetro que nos permite etiquetar los puntos de cada curva. Estas ecuaciones diferenciales suelen ser extremadamente complejas y no poseen soluciones analíticas salvo en los casos más triviales, por lo que su solución requiere el uso de ordenadores, como en el caso de las cuatro cargas representado más arriba.

Existe casos particulares importantes:

  • Un campo uniforme (independiente de la posición) tiene líneas de campo que son rectas paralelas. Este es el caso del campo eléctrico en el interior de un condensador plano.
  • Un campo central
\vec{E}(\vec{r}) = E(r)\vec{u}_r\qquad \qquad (\mbox{campo central})
en el cual el campo es siempre puramente radial, las líneas de campo son semirrectas radiales. Este es el caso del campo de una carga puntual, positiva o negativa,

4 Ley de Gauss

Artículo completo: Flujo y ley de Gauss

Una propiedad del campo eléctrico que se desprende del trazado de sus líneas de campo es la siguiente.

Consideremos, por ejemplo, el caso de cuatro cargas ilustrado anteriormente

  • Si tomamos la superficie cerrada S1, vemos que no encierra carga alguna, y que en ella hay tantas líneas de campo que entran como las que salen.
  • En la superficie S2, que envuelve a la carga positiva, las líneas de campo atraviesan la superficie hacia el exterior. Se dice que en esta región el campo es divergente.
  • En S3, en cambio, se envuelve una carga negativa y en ella el campo es convergente, atravesando las líneas de campo la superficie hacia adentro.
  • En S4 se envuelve una carga neta 0, y vemos que en ella tambioén hay tantas líneas que entran como que salen.

Vemos que el hecho de que las líneas atraviesen la superficie hacia afuera o hacia adentro depende de las cargas que haya en el interior, y que si es nula (bien porque no hay nada, bien porque hay tantas positivas como negativas) hay tantas que entran como que salen.

Este es un resultado general. Matemáticamente se expresa con el concepto de flujo que es una medida de cuánto campo atraviesa una superficie. La ley física que describe este fenómeno es la ley de Gauss

Ley de Gauss: El flujo del campo eléctrico a través de una superficie cerrada es proporcional a la cantidad de carga encerrada por la superficie.
\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\frac{Q_\mathrm{int}}{\varepsilon_0}

Analizando cada uno de los términos de esta ecuación tenemos:

\oint_S
El símbolo de integral con un círculo representa la integración sobre una superficie cerrada.
\vec{E}
El campo eléctrico en los puntos de la superficie. Este campo será en general función de la posición, por lo que no puede extraerse de la integral.
\cdot
El campo eléctrico es un vector y el diferencial de superficie también lo es. El flujo en cambio, es un número con signo. El producto escalar nos garantiza el aracter esclar del resultado.
\mathrm{d}\vec{S}: Cuando se integra sobre una superficie, se divide ésta en elementos de área dS. Se define el vector diferencial de superficie como uno que tiene por módulo el área del elemento, por dirección la perpendicular a la superficie y por sentido el que va hacia el exterior
\mathrm{d}\vec{S}=\vec{n}\,\mathrm{d}S
(¡ojo a la diferencia entre \mathrm{d}S\, y \mathrm{d}\vec{S}!).
Qint
es la carga encerrada por la superficie. Ojo que no es toda la carga del sistema Puede haber cargas en el exterior, que producen campo en la superficie (por ejemplo, las cuatros cargas respecto de la S1 anterior), pero que no están encerradas por ella. Aquí:
  • Si la carga neta encerrada es positiva: El flujo neto es hacia el exterior y el campo es divergente (caso de la superficie S2). Esto no excluye que pueda contener cargas negativas y que haya algunas líneas de campo hacia adentro, como en la superficie S5.
  • Si la carga neta encerrada es negativa: El flujo neto es hacia el interior y el campo es convergente (caso de S3).
  • Si la carga neta encerrada es cero: El flujo es nulo y hay tanto campo quye entra como que sale. Es importante recordar que un flujo nulo no implica un campo nulo
\oint_S \vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S} = 0\qquad\not\Rightarrow\qquad\vec{E}=\vec{0}
\varepsilon_0
La constante de proporcionalidad es una constante universal denominada permitividad del vacío, que tiene un valor exacto
\varepsilon_0=\frac{10^7}{359502071494727056\pi}\frac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}\simeq 8.854\times 10^{-12}\frac{\mathrm{C}^2}{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2} = 8.854\,\frac{\mathrm{pF}}{\mathrm{m}}
Aunque se suele aproximar en la forma más sencilla
\frac{1}{4\pi\varepsilon_0} = k_e\simeq 9\times 10^9\frac{\mathrm{N}\cdot\mathrm{m}^2}{\mathrm{C}^2}

5 Campo de cargas puntuales

Artículo completo: Campo de cargas puntuales. Ley de Coulomb

Una de las primeras aplicaciones de la ley de Gauss es la obtención del campo eléctrico creado por una carga puntual.

Por la simetría del sistema, el campo creado por una carga va a ser central

\vec{E}(\vec{r})=E(r)\vec{u}_r

siendo r la distancia a la carga, \vec{r} el vector de posición respecto a la carga y \vec{u}_r el unitario en la dirección radial.

De acuerdo con la ley de Gauss, el flujo a través de cualquier superficie cerrada que envuelva a esta carga será el mismo. Si consideramos superficies esféricas concéntricas de radio cada vez más grande, el área de cada una crece como el cuadrado del radio, pero el flujo no cambia. Por tanto, el campo eléctrico de una carga puntual debe decaer como el cuadrado de la distancia a la carga.

Matemáticamente

\mathrm{d}\vec{S}=\vec{u}_r\,\mathrm{d}S\qquad\qquad \frac{q}{\varepsilon_0}=\oint_S\vec{E}\cdot\mathrm{d}\vec{S}=\oint_S E(r)\,\mathrm{d}S

y puesto que E(r) tiene el mismo valor para todos los puntos de la superficie esférica puede salir de la integral y queda

\oint_S E(r)\,\mathrm{d}S = E(r) S = 4\pi r^2 E = \frac{q}{\varepsilon_0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{E}=\frac{q}{4\pi r^2}\vec{u}_r

Más en general, si tenemos la carga en un cierto punto A, el campo que produce en un punto P es

\vec{E}_P = \frac{1}{4\pi\varepsilon_0}\,\frac{q}{d_{AP}^2}\vec{u}_{AP}

En función de los vectores de posición

No se pudo entender (error de sintaxis): d_{AP}=|\vec{r}_P-\vec{r}_A|\qquad\qquad \vec{u}_{AP}=\frac{(\vec{r}_P-\vec{r}_A)}{|\vec{r}_P-\vec{r}_A}|}\qquad\qquad \vec{E}_P=\frac{q(\vec{r}_P-\vec{r}_a)}{4\pi\varepsilon_0|\vec{r}_P-\vec{r}_A|^3}

6 Campo de una distribución de carga

7 Energía potencial electrostática

8 Potencial eléctrico

9 Energía electrostática de un sistema

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