Enunciado

Una partícula se mueve a lo largo de una recta de forma que su velocidad sigue la ley, en el SI

entre y . La posición inicial es . Halle:

  1. La posición de la partícula en cada instante del intervalo indicado.
  2. La velocidad media de la partícula en este intervalo.
  3. Los valores máximo y mínimo de .
  4. La distancia recorrida en ese intervalo y la rapidez media.
  5. La aceleración en todo instante.
  6. Los valores máximo y mínimo de la velocidad y la rapidez.

Posición

La posición instantánea la hallamos integrando la velocidad

En este caso

estando el tiempo medido en segundos y la posición en metros.

Velocidad media

El desplazamiento en este intervalo es

con lo que la velocidad media es nula

Posición máxima y mínima

Los valores extremos de la posición corresponden a los instantes en que la velocidad se anula

siendo la posición en esos instantes

La partícula parte del origen, llega a una distancia máxima, a partir de ahí retrocede hasta un valor mínimo negativo y de ahí avanza de nuevo hasta terminar en la posición inicial

Distancia recorrida y rapidez media

La distancia total recorrida no coincide con el desplazamiento neto, ya que la partícula va y viene en su movimiento.

De los resultados del apartado anterior tenemos que la partícula avanza 400 m, luego retrocede esos mismos 400 m y hace 972 m. Por último vuelve a recorrer de nuevo los 972 m hasta la posición original. la distancia total recorrida es

Si no hubiéramos hallado previamente estas cantidades podemos calcular la distancia total recorrida integrando la rapidez

El valor absoluto de la velocidad se obtiene cambiando el signo de la velocidad en los tramos en que es negativa ya que

. El cambio de signo se produce en los puntos en que la velocidad se anula.

    

Esto nos da

Integrando esto

Error al representar (error de sintaxis): {\displaystyle \Delta s = \int_0^4 \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t+\int_4^{18} \left(-\left(3t^2-66t+216\right)\right)\,\mathrm{d}t+\int_{18}^{24} \left(3t^2-66t+216\right)\,\mathrm{d}t \\ = \left(400+1372+972\right)\,\mathrm{m} = 2744\,\mathrm{m}}

La rapidez media es la distancia total recorrida dividida por el tiempo empleado:

Aceleración

Derivando de nuevo hallamos la aceleración instantánea

La gráfica de esta figura es una línea recta

Archivo:Adet-cubica.png

La gráfica pasa por cero justo donde la velocidad es mínima.

Velocidad y rapidez máximas y mínimas

La velocidad mínima se obtiene cuando la aceleración es nula, es decir en . En ese instante

La máxima se alcanza en uno de los extremos del intervalo. Hallamos los dos valores para ver cuál es el mayor

Por tanto el valor máximo en 360m/s.

Para la rapidez el valor máximo es el mismo, pero el mínimo no es +147m/s, sino 0m/s. Obsérvese que los extremos de la rapidez en este caso no se hallan donde su derivada es nula.