De Laplace

1 Enunciado

Una barra delgada de longitud (sólido "0") está articulada en el punto fijo O. En el otro extremo de la barra (punto A) se articula otra barra (sólido "2") de longitud . A su vez, el otro extremo de la barra 2 (punto B) se articula en un pasador obligado a moverse sobre una barra fija vertical. En todo instante la velocidad del punto B es , con v₀ > 0 y constante. En el instante indicado en la figura las dos barra son perpendiculares y forman un ángulo π / 4 con la barra fija vertical. Todas las preguntas siguientes corresponden a este instante.

1. Determina el vector de posición del punto B es
2. Encuentra gráficamente y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}.
3. Calcula los vectores rotación de los movimientos {21} y {01}.
4. Calcula el vector aceleración del movimiento {21}.

2 Solución

2.1 Vector de posición del punto B

Podemos construir el vector pedido como

De la figura, y teniendo en cuenta que los ángulos son π / 4

Por tanto

2.2 Posiciones de los C.I.R.s

La figura de la derecha muestra la posición de los tres puntos pedidos.

El punto O de la barra "0" está siempre en el origen. Por tanto

El punto A pertenece siempre a las dos barras a la vez. Entonces

El Teorema de los Tres centros nos dice que I₂₁, I₂₀ y I₀₁ están en la misma recta. Por otro lado, el punto B de la barra "2" se mueve siempre sobre la barra vertical fija. Entonces es siempre vertical. El punto I₂₁ debe estar en la recta perpendicular a trazada por B. El corte de estas dos rectas nos da la posición de I₂₁,

2.3 Vectores rotación

Al ser movimientos planos tenemos

2.3.1 Movimiento {21}

Tenemos la velocidad absoluta de dos puntos, el B y el I₂₁. Usando el Teorema de Chasles tenemos

Por tanto

2.3.2 Movimiento {01}

Podemos determinar partiendo del punto O

Por otro lado, a partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos, teniendo en cuenta que ,

Las dos expresiones de deben ser iguales. Por tanto

2.3.3 Movimiento {20}

Por un lado tenemos

Por otro lado, usando la composición {21} = {20} + {01}

2.4 Aceleraciones angulares

De nuevo, al ser un movimiento plano tenemos

Conocemos tres aceleraciones en el problema

El primer valor se debe a que el enunciado nos dice que es constante. Los otros se deducen de que esos puntos son los C.I.R.s de los movimientos respectivos.

Ahora calculamos de dos maneras diferentes, usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} a partir de B y con el Teorema de Coriolis.

A partir de B tenemos

Usando el Teorema de Coriolis en A

Ahora utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} partiendo de O

De nuevo, las dos expresiones para deben ser iguales. Obtenemos así dos ecuaciones

Resolviendo obtenemos

Usamos de nuevo la composición {21} = {20} + {01}