|
|
| Línea 1: |
Línea 1: |
| - | = Enunciado =
| |
| - | [[File:MRGIC-2019-barras.png|right]]
| |
| - | Una barra delgada de longitud <math>2\sqrt{2}b</math> (sólido "0") está articulada en el punto
| |
| - | fijo <math>O</math>. En el otro extremo de la barra (punto <math>A</math>) se articula otra barra
| |
| - | (sólido "2") de longitud <math>\sqrt{2}b</math>. A su vez, el otro extremo de la barra 2 (punto
| |
| - | <math>B</math>) se articula en un pasador obligado a moverse sobre una barra fija
| |
| - | vertical. En todo instante la velocidad del punto <math>B</math> es <math>\vec{v}_0=
| |
| - | v_0\,\vec{\jmath}_1</math>, con <math>v_0>0</math> y constante. En el instante indicado en la
| |
| - | figura las dos barra son perpendiculares y forman un ángulo <math>\pi/4</math> con la
| |
| - | barra fija vertical. Todas las preguntas siguientes corresponden a este instante.
| |
| | | | |
| - | # Determina el vector de posición del punto <math>B</math> es
| |
| - | # Encuentra gráficamente y analíticamente la posición de los C.I.R. de los movimientos {01}, {20} y {21}.
| |
| - | #Calcula los vectores rotación de los movimientos {21} y {01}.
| |
| - | #Calcula el vector aceleración del movimiento {21}.
| |
| - |
| |
| - | = Solución =
| |
| - |
| |
| - | == Vector de posición del punto B ==
| |
| - | Podemos construir el vector pedido como
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \overrightarrow{OB} = \overrightarrow{OA} + \overrightarrow{AB}.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | De la figura, y teniendo en cuenta que los ángulos son <math>\pi/4</math>
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \begin{array}{l}
| |
| - | \overrightarrow{OA} = 2b\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\vec{\jmath}_1,\\
| |
| - | \overrightarrow{AB} = -b\,\vec{\imath}_1 + b\,\vec{\jmath}_1.
| |
| - | \end{array}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | Por tanto
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \overrightarrow{OB} = b\,\vec{\imath}_1 + 3b\,\vec{\jmath}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - |
| |
| - | == Posiciones de los C.I.R.s ==
| |
| - | [[File: MRGIC-2019-barras-CIR.png|right]]
| |
| - | La figura de la derecha muestra la posición de los tres puntos pedidos.
| |
| - |
| |
| - | El punto <math>O</math> de la barra "0" está siempre en el origen. Por tanto
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{v}^{\,O}_{01} = \vec{0} \Longrightarrow I_{01}\equiv O.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | El punto <math>A</math> pertenece siempre a las dos barras a la vez. Entonces
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0} \Longrightarrow I_{20}\equiv O.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | El Teorema de los Tres centros nos dice que <math>I_{21}</math>, <math>I_{20}</math> y <math>I_{01}</math> están en la misma recta. Por otro lado, el punto <math>B</math> de la barra "2" se mueve siempre sobre la barra vertical fija. Entonces <math>\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}_0</math> es siempre vertical. El punto <math>I_{21}</math> debe estar en la recta perpendicular a <math>\vec{v}_0</math> trazada por <math>B</math>. El corte de estas dos rectas nos da la posición de <math>I_{21}</math>,
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \overrightarrow{OI}_{21} = 3b\,\vec{\imath}_1 + 3b\,\vec{\jmath}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | == Vectores rotación ==
| |
| - | Al ser movimientos planos tenemos
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{\omega}_{21} = \omega_{21}\,\vec{k}_1,\qquad
| |
| - | \vec{\omega}_{20} = \omega_{20}\,\vec{k}_1,\qquad
| |
| - | \vec{\omega}_{01} = \omega_{01}\,\vec{k}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | === Movimiento {21} ===
| |
| - | Tenemos la velocidad absoluta de dos puntos, el <math>B</math> y el <math>I_{21}</math>. Usando el Teorema de Chasles tenemos
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{v}^{\,I_{21}}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}B}
| |
| - | =
| |
| - | (\omega_{21}\,\vec{k}_1)\times(-2b\,\vec{\imath}_1) = -2b\omega_{21}\,\vec{\jmath}_1 = v_0\,\vec{\jmath}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | Por tanto
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{\omega}_{21} = -\dfrac{v_0}{2b}\,\vec{k}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | === Movimiento {01} ===
| |
| - | Podemos determinar <math>\vec{v}^{\,A}_{01}</math> partiendo del punto <math>O</math>
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,O}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\overrightarrow{OA}
| |
| - | =
| |
| - | (\omega_{01}\,\vec{k}_1)\times(2b\,\vec{\imath}_1 + 2b\,\vec{\jmath}_1) =
| |
| - | -2b\omega_{01}\,\vec{\imath}_1 + 2b\omega_{01}\,\vec{\jmath}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | Por otro lado, a partir de la composición {21} = {20} + {01} tenemos, teniendo en cuenta que <math>\vec{v}^{\,A}_{20}=\vec{0}</math>,
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\,A}_{20} + \vec{v}^{\,A}_{01}
| |
| - | \Longrightarrow
| |
| - | \vec{v}^{\,A}_{01} = \vec{v}^{\,A}_{21} =
| |
| - | \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BA}
| |
| - | =
| |
| - | -\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\imath}_1
| |
| - | +\dfrac{v_0}{2}\,\vec{\jmath}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | Las dos expresiones de <math>\vec{v}^{\,A}_{01}</math> deben ser iguales. Por tanto
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{\omega}_{01} = \dfrac{v_0}{4b}\,\vec{k}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | === Movimiento {20} ===
| |
| - | Por un lado tenemos
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{0}.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | Por otro lado, usando la composición {21} = {20} + {01}
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{\omega}_{21} = \vec{\omega}_{20} + \vec{\omega}_{01}
| |
| - | \Longrightarrow
| |
| - | \vec{\omega}_{20} =\vec{\omega}_{21} - \vec{\omega}_{01}
| |
| - | =
| |
| - | -\dfrac{3v_0}{4b}\,\vec{k}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - |
| |
| - | == Aceleraciones angulares==
| |
| - | De nuevo, al ser un movimiento plano tenemos
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{\alpha}_{21} = \alpha_{21}\,\vec{k}_1, \qquad
| |
| - | \vec{\alpha}_{20} = \alpha_{20}\,\vec{k}_1, \qquad
| |
| - | \vec{\alpha}_{01} = \alpha_{01}\,\vec{k}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | Conocemos tres aceleraciones en el problema
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{a}^{\,B}_{21} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,O}_{01} = \vec{0}, \qquad \vec{a}^{\,A}_{20} = \vec{0}.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | El primer valor se debe a que el enunciado nos dice que <math>\vec{v}_0</math> es constante. Los otros se deducen de que esos puntos son los C.I.R.s de los movimientos respectivos.
| |
| - |
| |
| - | Ahora calculamos <math>\vec{a}^{\,A}_{21}</math> de dos maneras diferentes, usando la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {21} a partir de <math>B</math> y con el Teorema de Coriolis.
| |
| - |
| |
| - | A partir de <math>B</math> tenemos
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,B}_{21} + \vec{\alpha}_{21}\times\overrightarrow{BA} - |\vec{\omega}_{21}|^2\overrightarrow{BA}
| |
| - | =
| |
| - | \left(b\alpha_{21} - \dfrac{v_0^2}{4b}\right)\,\vec{\imath}_1
| |
| - | +
| |
| - | \left(b\alpha_{21} + \dfrac{v_0^2}{4b}\right)\,\vec{\jmath}_1
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | Usando el Teorema de Coriolis en <math>A</math>
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{a}^{\,A}_{21} = \vec{a}^{\,A}_{20} + \vec{a}^{\,A}_{01} + 2\vec{\omega}_{01}\times\vec{v}^{\,A}_{20} = \vec{a}^{\,A}_{01}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | Ahora utilizamos la ecuación del campo de aceleraciones del movimiento {01} partiendo de <math>O</math>
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{a}^{\,A}_{01} = \vec{a}^{\,O}_{01} + \vec{\alpha}_{01}\times\overrightarrow{OA} - |\vec{\omega}_{01}|^2\overrightarrow{OA}
| |
| - | =
| |
| - | \left(-2b\alpha_{01} - \dfrac{v_0^2}{8b}\right)\,\vec{\imath}_1
| |
| - | +
| |
| - | \left(2b\alpha_{01} - \dfrac{v_0^2}{8b}\right)\,\vec{\jmath}_1
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | De nuevo, las dos expresiones para <math>\vec{a}^{\,A}_{21}</math> deben ser iguales. Obtenemos así dos ecuaciones
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \begin{array}{l}
| |
| - | \alpha_{21} + 2\alpha_{01} = v_0^2/8b^2,\\
| |
| - | \alpha_{21} - 2\alpha_{01} = -3v_0^2/8b^2.
| |
| - | \end{array}
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | Resolviendo obtenemos
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{\alpha}_{21} = -\dfrac{v_0^2}{8b^2}\,\vec{k}_1, \qquad \vec{\alpha}_{01} = \dfrac{v_0^2}{8b^2}.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | Usamos de nuevo la composición {21} = {20} + {01}
| |
| - | <center>
| |
| - | <math>
| |
| - | \vec{\alpha}_{21} = \vec{\alpha}_{20} + \vec{\alpha}_{01} + \vec{\omega}_{01}\times\vec{\omega}_{20}
| |
| - | \Longrightarrow
| |
| - | \vec{\alpha}_{20} = \vec{\alpha}_{21} - \vec{\alpha}_{01}
| |
| - | =
| |
| - | -\dfrac{v_0^2}{4b^2}\,\vec{k}_1.
| |
| - | </math>
| |
| - | </center>
| |
| - | [[Categoría:Problemas de cinemática del sólido rígido]]
| |
| - | [[Categoría:Problemas de examen de Mecánica Racional]]
| |
