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Barra deslizando sobre una esquina (MR G.I.C.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '= Enunciado = right Una barra homogénea de masa <math>m</math> y longitud <math>L=2a</math>, se mueve en un plano vertical, d…')
(Separación de la pared)
 
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Para ese valor del ángulo la barra empieza a separase de la pared. A partir de ese momento es un nuevo problema, pues la barra adquiere un nuevo grado de libertad y sólo actúa la fuerza vincular en <math>B</math>.
Para ese valor del ángulo la barra empieza a separase de la pared. A partir de ese momento es un nuevo problema, pues la barra adquiere un nuevo grado de libertad y sólo actúa la fuerza vincular en <math>B</math>.
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[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (MR)]]
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última version al 18:23 22 oct 2021

Contenido

1 Enunciado

Una barra homogénea de masa m y longitud L = 2a, se mueve en un plano vertical, de modo que sus extremos B y A se mueven sobre los ejes OX1 y OY1, respectivamente. Suponiendo contactos lisos:

  1. Encuentra una integral primera del movimiento en caso de apoyos bilaterales. Las condiciones iniciales son θ(0) = 0, \dot{\theta}(0)=0.
  2. Encuentra las ecuaciones de movimiento aplicando el T.C.M. y el T.M.C. en el centro de masas de la barra.
  3. Determina el ángulo θ0 para el que la barra se despegaría del eje por su extremo A en caso de apoyo unilateral en ese punto.

2 Solución

3 Cinemática

El vector rotación es


\vec{\omega}_{21} = \dot{\theta}\,\vec{k}.

El vector de posición del punto B es


\overrightarrow{OB} = 2a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1.

Este vector sigue siempre al mismo punto del sólido, por lo que \overrightarrow{OB} = \vec{r}^{\,B}_{21}. Puede derivarsre respecto del tiempo para calcular la velocidad del punto B


\vec{v}^{\,B}_{21} = \left.\dfrac{\mathrm{d}\overrightarrow{OB}}{\mathrm{d} t}\right|_1
=
2a\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1.

4 Cinética

La cantidad de movimiento de la barra es


\vec{C} = m\,\vec{v}^{\,G}_{21}.

Usando el teorema de Chasles


\begin{array}{ll}
\vec{v}^{\,G}_{21} & = \vec{v}^{\,B}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BG}
=
a\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - a \dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1
\\
& \vec{v}^{\,B}_{21} = 2a\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1\\
& \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{BG} = 
(\dot{\theta}\,\vec{k})\times(-a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + a\cos\theta\,\vec{\jmath}_1)
=
-a\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1 - a \dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1
\end{array}

La cantidad de movimiento es


\vec{C} = ma(\dot{\theta}\cos\theta\,\vec{\imath}_1 -  \dot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\jmath}_1)

El momento cinético en su centro de masas es, al ser un sólido plano haciendo un movimiento plano,


\vec{L}_G = I_{zz}(G)\,\vec{\omega}_{21} = \dfrac{1}{12}m(2a)^2\dot{\theta}\,\vec{k}
=\dfrac{1}{3}ma^2\dot{\theta}\,\vec{k}.

Calculamos la energía cinética usando el centro de masas


\begin{array}{ll}
T = & T_{Tra} + T_{Rot} = \dfrac{2}{3}ma^2\dot{\theta}^2.\\
&\\
& T_{Tra} = \dfrac{1}{2}m|\vec{v}^{\,G}_{21}|^2 = \dfrac{1}{2}ma^2\dot{\theta}^2.\\
&\\
&\\
& T_{Rot} = \dfrac{1}{2}m|\vec{\omega}_{21}|^2 = \dfrac{1}{6}ma^2\dot{\theta}^2.\\
\end{array}

4.1 Aplicación de los teoremas fundamentales

4.1.1 Fuerzas

La imagen muestra las fuerzas que actuán sobre la barra. La fuerza activa es el peso aplicado en el centro de masas G, mientras que las fuerzas en A y B son vinculares. Como el vínculo es liso, son perpendiculares a las superficies respectivas


\begin{array}{l}
\vec{P} = -mg\,\vec{\jmath}_1,\\
\vec{A} = A\,\vec{\imath}_1,\\
\vec{B} = B\,\vec{\jmath}_1.
\end{array}

Las incógnitas del problema son {θ,A,B}. En un problema plano el T.C.M. proporciona dos ecuaciones escalares y el T.M.C. da una. El problema está bien definido.

4.1.2 T.C.M.

El T.C.M. dice


\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{C}}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{F}_{neta}^{ext} =
\vec{P} + \vec{A} + \vec{B}.

En este caso tenemos


\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{C}}{\mathrm{d}t}\right|_1  =
ma\,(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta)\,\vec{\imath}_1
-
ma\,(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta)\,\vec{\jmath}_1

Las ecuaciones son


\begin{array}{lclr}
X) & \to & ma\,(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta) = A & (1)
\\
Y) & \to & - ma\,(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta) = B -mg & (2)
\end{array}

4.1.3 T.M.C.

El T.M.C. aplicado en el centro de masas es


\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \vec{M}_{G}^{ext}

La derivada temporal del momento angular es


\left.\dfrac{\mathrm{d}\vec{L}_G}{\mathrm{d}t}\right|_1 = \dfrac{1}{3}ma^2\ddot{\theta}\,\vec{k}.

El momento neto respecto a G es


\begin{array}{ll}
\vec{M}_G^{ext} = & \overrightarrow{GA}\times\vec{A} + \overrightarrow{GB}\times\vec{B} 
=
a(B\,\mathrm{sen}\,\theta -A\cos\theta)\,\vec{k}
\\
& \overrightarrow{GA}\times\vec{A} = (-a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 + a\cos\theta\,\vec{\jmath}_1)\times(A\,\vec{\imath}_1)
=
-aA\cos\theta\,\vec{k}, \\
& \overrightarrow{GB}\times\vec{B} = (a\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{\imath}_1 - a\cos\theta\,\vec{\jmath}_1)\times(B\,\vec{\jmath}_1)
=
aB\,\mathrm{sen}\,\theta\,\vec{k}.
\end{array}

La ecuación que se obtiene es


ma\ddot{\theta} = 3\,(B\,\mathrm{sen}\,\theta -A\cos\theta). \qquad (3)

4.1.4 Análisis de las ecuaciones

Podemos eliminar A y B en las ecuaciones con la siguiente operación


\mathrm{sen}\,\theta\,(2) - \cos\theta\,(1)

El resultado es la ecuación diferencial de segundo orden


\ddot{\theta} = \dfrac{3g}{4a}\,\mathrm{sen}\,\theta. \qquad \qquad (4)

Junto con las condiciones iniciales θ(0) = 0 y \dot{\theta}(0) = 0 permiten calcular θ(t). Una vez determinada esta las reacciones son


\begin{array}{lr}
A = ma\,(\ddot{\theta}\cos\theta - \dot{\theta}^2\,\mathrm{sen}\,\theta), & (5) \\
B = mg - ma\,(\ddot{\theta}\,\mathrm{sen}\,\theta + \dot{\theta}^2\cos\theta), & (6)
\end{array}

4.2 Integral primera del movimiento

Las integrales primeras del movimiento son magnitudes que se conservan durante el movimiento. En este caso las fuerzas vinculares no hacen trabajo, pues


\vec{A}\cdot\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{0}, \qquad\qquad
\vec{B}\cdot\vec{v}^{\,B}_{21} = \vec{0}

Podemos definir una energía potencial asociada a la gravedad. Tomando como referencia la altura del suelo tenemos

U = mgcosθ.

La energía mecánica es


E = T + U = \dfrac{2}{3}m\dot{\theta}^2 + mga\cos\theta.

Como la fuerzas no conservativas (\vec{A} y \vec{B}) no realizan trabajo, la energía mecánica se conserva


E = E(0) 
\Longrightarrow
 \dfrac{2}{3}ma^2\dot{\theta}^2 + mga\cos\theta =
 \dfrac{2}{3}ma^2\dot{\theta}^2(0) + mga\cos\theta(0).

Aplicando las condiciones iniciales tenemos


 \dfrac{2}{3}ma^2\dot{\theta}^2 + mga\cos\theta =
 mga. \qquad (7)

Esto es una ecuación diferencial de primer orden para \dot{\theta}(t)


\dot{\theta} = \sqrt{\dfrac{3g}{2a}\,(1-\cos\theta)}. \qquad\qquad (8)

Junto con la condición inicial θ(0) = 0 permite resolver el movimiento de la barra.

Vemos que las leyes de conservación proporiconan ecuaciones diferenciales de primer orden para las incógnitas del movimiento. La aplicación de los teoremas fundamentales dan ecuaciones diferenciales de segundo orden para las incógnitas de movimiento, como hemos visto en el apartado anterior. De hecho la ecuación (4) puede reobtenerse derivando respecto al tiempo la ecuación (7). De ahí el nombre de integral primera.

4.3 Separación de la pared

La barra se separa de la pared cuando A es cero. Utilizando (4) y (8) en la expresión de A tenemos


A =  \dfrac{3}{4}mg\,\mathrm{sen}\,\theta\,(3cos\theta-2).

Esta expresión se anula cuando


3\cos\theta_0 = 2 \Longrightarrow \cos\theta_0 = 2/3.

Para ese valor del ángulo la barra empieza a separase de la pared. A partir de ese momento es un nuevo problema, pues la barra adquiere un nuevo grado de libertad y sólo actúa la fuerza vincular en B.

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