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Barra deslizando en cuenco semiesférico, Enero 2021 (G.I.E.R.M.)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Página creada con '= Enunciado = right Una barra de longitud <math>L</math> (sólido "2") desliza en un cuenco de radio <math>R</math> (sólido "1"). …')
Línea 7: Línea 7:
uniforme sobre el cuenco con rapidez constante <math>v_0</math>. Calcula las siguientes magnitudes
uniforme sobre el cuenco con rapidez constante <math>v_0</math>. Calcula las siguientes magnitudes
#La posición del C.I.R. del movimiento {21}.
#La posición del C.I.R. del movimiento {21}.
-
#La reducción cinemática del movimiento.
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#El vector rotación de ese movimiento.
#La velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}</math>.
#La velocidad <math>\vec{v}^{\,O}_{21}</math>.
Línea 23: Línea 23:
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''' Reducción cinemática '''
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''' Vector rotación '''
Al ser un movimiento se cumple  
Al ser un movimiento se cumple  
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\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{\I_{21}}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}A}
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\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{I_{21}}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}A}
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\vec{0} + (\omega\,vec{k})\times(-2R\,\vec{\jmath}_1 0 2\omega R\,\vec{\imath}_1.
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\vec{0} + (\omega\,\vec{k})\times(-2R\,\vec{\jmath}_1) =  2\omega R\,\vec{\imath}_1.
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Por otro lado del enunciado sabemos que <math>\vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1</math>. Igualando llegamos a
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\vec{\omega}_{21} = \dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}.
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''' Velocidad del punto <math>O</math> '''
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El hecho de que el punto <math>O</math> coincida con el origen '''no implica que su velocidad sea cero'''. En este caso no lo es. Aplicamos Chasles entre el C.I.R. y el punto <math>O</math>
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\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{I_{21}}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}O}
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\vec{0} + \left(\dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}\right)\times(-R\,\vec{\jmath}_1) =  \dfrac{v_0}{2}\,\vec{\imath}_1.
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Hay que recordar que en el punto geométrico <math>O</math> coinciden dos puntos distintos: uno que se mueve con la barra (perteneciente al sólido "2") y otro que se queda quieto (perteneciente al sólido "1"). Es la velocidad del primero de estos puntos la que se pide.

Revisión de 16:49 27 ene 2021

1 Enunciado

Una barra de longitud L (sólido "2") desliza en un cuenco de radio R (sólido "1"). El punto A de la barra desliza sobre la circunferencia del cuenco y el punto de la barra que en cada instante está en contacto con la esquina (punto C en la figura) desliza sobre esa esquina. En el instante indicado en la figura el punto A de la barra está en el punto mas bajo del cuenco. El punto A realiza un movimiento circular uniforme sobre el cuenco con rapidez constante v0. Calcula las siguientes magnitudes

  1. La posición del C.I.R. del movimiento {21}.
  2. El vector rotación de ese movimiento.
  3. La velocidad \vec{v}^{\,O}_{21}.

2 Solución

Posición del C.I.R.

La barra realiza un movimiento plano. La figura de la derecha muestra las direcciones de las velocidades del movimiento en los puntos A y C. Trazando por esos puntos sendas rectas perpendiculares a las velocidades, su punto de corte indica la posición del C.I.R. del movimiento {21}. Todos los ángulos indicados son de π / 4. Por tanto


\overrightarrow{OI}_{21} = R\,\vec{\jmath}_1.


Vector rotación

Al ser un movimiento se cumple


\vec{\omega}_{21} = \omega\,\vec{k}.

Aplicamos el Teorema de Chasles entre los puntos I21 y A:


\vec{v}^{\,A}_{21} = \vec{v}^{I_{21}}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}A}
=
\vec{0} + (\omega\,\vec{k})\times(-2R\,\vec{\jmath}_1) =  2\omega R\,\vec{\imath}_1.

Por otro lado del enunciado sabemos que \vec{v}^{\,A}_{21} = v_0\,\vec{\imath}_1. Igualando llegamos a


\vec{\omega}_{21} = \dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}.

Velocidad del punto O

El hecho de que el punto O coincida con el origen no implica que su velocidad sea cero. En este caso no lo es. Aplicamos Chasles entre el C.I.R. y el punto O


\vec{v}^{\,O}_{21} = \vec{v}^{I_{21}}_{21} + \vec{\omega}_{21}\times\overrightarrow{I_{21}O}
=
\vec{0} + \left(\dfrac{v_0}{2R}\,\vec{k}\right)\times(-R\,\vec{\jmath}_1) =  \dfrac{v_0}{2}\,\vec{\imath}_1.

Hay que recordar que en el punto geométrico O coinciden dos puntos distintos: uno que se mueve con la barra (perteneciente al sólido "2") y otro que se queda quieto (perteneciente al sólido "1"). Es la velocidad del primero de estos puntos la que se pide.

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