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Barra apoyada en placa cuadrada (CMR)

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
(Del movimiento {20})
(Del movimiento {20})
 
Línea 63: Línea 63:
<center><math>y_0=\frac{bC}{S^2}</math></center>
<center><math>y_0=\frac{bC}{S^2}</math></center>
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Vectorialmente
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<center><math>\overrightarrow{OI}_{20}=\frac{b}{S^2}\vec{\imath}_1=\frac{b}{S}\vec{\imath}_0+\frac{bC}{S^2}\vec{\jmath}_0</math></center>
También se puede llegar a este resultado con un poco más de trigonometría observando que <math>OAI_{20}</math> es un triángulo rectángulo con ángulo en el vértice O de 90&deg;&minus;&theta;.
También se puede llegar a este resultado con un poco más de trigonometría observando que <math>OAI_{20}</math> es un triángulo rectángulo con ángulo en el vértice O de 90&deg;&minus;&theta;.

última version al 21:37 10 ene 2021

Contenido

1 Enunciado

El esquema de la figura muestra una placa cuadrada de lado b (sólido “2”), uno de cuyos lados desliza sobre el eje horizontal fijo OX1 (sólido “1”), mientras que la placa permanece contenida siempre en el plano vertical fijo OX1Y1. Sobre el vértice A de dicha placa se apoya en todo instante una varilla delgada (sólido “0”), que gira con velocidad angular \dot{\theta}̇<0, alrededor de su extremo articulado en el punto fijo O (ver figura).

  1. Determine gráficamente la posición de los centros instantáneos de rotación I21, I02 e I01.
  2. Calcule la velocidad del vértice A de la placa en el movimiento de ésta respecto de los ejes fijos y respecto de la barra (movimientos {21} y {20}, respectivamente), expresada en función de θ y sus derivadas,
  3. Halle la velocidad angular \vec{\omega}_{20}, correspondiente al movimiento relativo de la placa respecto de la varilla (movimiento {20}).
  4. Determine la aceleración del centro de la placa, G, en el movimiento {21} en función del ángulo %theta; y sus derivadas respecto al tiempo.

2 Centros instantáneos de rotación

2.1 Del movimiento {01}

Puesto que la barra gira en torno a la articulación O, éste es ek CIR de este movimiento

\overrightarrow{OI}_{01}=\vec{0}\,

2.2 Del movimiento {21}

La placa realiza un movimiento de traslación sobre el eje OX, por tanto su centro instantáneo de rotación se halla en el infinito, pero no en cualquier lugar, sino en una dirección perpendicular a la dirección de movimiento, es decir, abusando de la notación

\overrightarrow{OI}_{01}=\infty\vec{\jmath}_1\,

2.3 Del movimiento {20}

Este requiere algún cálculo. Debe estar alineado con los otros dos, por lo que debe encontrarse sobre el eje OX1. Para hallar el punto exacto, buscamos la velocidad de un punto concreto y trazamos la perpendicular.

Consideremos el punto A, en el que la barra se apoya en la placa. Este punto de la placa “2” está deslizando sobre la barra “0” por lo que la velocidad de este punto en este movimiento es de la forma

\vec{v}^A_{20}=v^A_{20}\vec{\imath}_0

siendo el eje OX0 el que va a lo largo de la placa. La relación entre las bases es

\vec{\imath}_0=C\vec{\imath}_1+S\vec{\jmath}_1\qquad\qquad \vec{\jmath}_0=-S\vec{\imath}_1+C\vec{\jmath}_1

Gráficamente, el centro I20 se encuentra en la intersección de esta perpendicular con el eje vertical.

Para hallar las coordenadas de este punto, observamos que la perpendicular a la velocidad la marca el vector \vec{\jmath}_0. Por tanto el CIR se encontrará en un punto de la forma

\overrightarrow{OI}_{20}=x_0\vec{\imath}_0+y_0\vec{\jmath}_0

y, al mismo tiempo, puesto que se encuentra sobre el eje vertical

\overrightarrow{OI}_{20}=y_1\vec{\jmath}_1

Estas dos expresiones deben ser coincidentes.

El valor de x0 lo obtenemos por simple trigonometría. Si b es la altura de la placa, la distancia OA mide

x_0=|\overrightarrow{OA}|=\frac{b}{S}

donde, como en otras ocasiones, C = cos(θ), S = sen(θ).

Tenemos entonces la igualdad

y_1\vec{\jmath}_1=\frac{b}{S}\vec{\imath}_0+y_0\vec{\jmath}_0
Si proyectamos sobre
\vec{\imath}_0
y_1\overbrace{\vec{\jmath}_1\cdot\vec{\imath}_0}^{\mathrm{sen}(\theta)}=\frac{b}{S}\overbrace{\vec{\imath}_0\cdot\vec{\imath}_0}^{1}+y_0\overbrace{\vec{\jmath}_0\cdot\vec{\imath}_0}^{0}=\frac{b}{S}

lo que nos da

y_1=\frac{b}{S^2}

e

y_0=\frac{bC}{S^2}

Vectorialmente

\overrightarrow{OI}_{20}=\frac{b}{S^2}\vec{\imath}_1=\frac{b}{S}\vec{\imath}_0+\frac{bC}{S^2}\vec{\jmath}_0

También se puede llegar a este resultado con un poco más de trigonometría observando que OAI20 es un triángulo rectángulo con ángulo en el vértice O de 90°−θ.

3 Velocidad de A

3.1 Primer método

En el movimiento {01}, A, como punto de la barra, efectúa una rotación en torno a O, por lo que su velocidad es

\vec{v}^A_{01}=\omega_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}=\dot{\theta}\vec{k}\times\left(\frac{b}{S}\vec{\imath}_0\right)=\frac{b\dot{\theta}}{S}\vec{\jmath}_0

En el movimiento {21} el movimiento es puramente horizontal y en el {20} es a lo largo de la barra, por lo que de la ley de composición

\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{20}+\vec{v}^A_{01}

queda

v^A_{21}\vec{\imath}_1=v^A_{20}\vec{\imath}_0+\frac{b\dot{\theta}}{S}\vec{\jmath}_0

Proyectando sobre \vec{\jmath}_0 queda

-v^A_{21}S = \frac{b\dot{\theta}}{S}\qquad\Rightarrow\qquad v^A_{21}=-\frac{b\dot{\theta}}{S^2}

y sobre \vec{\imath}_0

v^A_{21}C = v^A_{20}\qquad\Rightarrow\qquad v^A_{20}=-\frac{bC\dot{\theta}}{S^2}

También se puede llegar a este resultado expresando

\vec{\imath}_1=C\vec{\imath}_0-S\vec{\jmath}_0

y luego igualando componente a componente.

3.2 Segundo método

Pueden calcularse estas velocidades directamente hallando la posición de A y derivando. En el sistema 1

x_{1A}=b\,\mathrm{cotg}(\theta)\qquad\Rightarrow\qquad v^A_{21}=-\frac{b\dot{\theta}}{S^2}

En el sistema 0

x_{0A}=\frac{b}{\mathrm{sen}(\theta)}\qquad\Rightarrow\qquad v^A_{20}=-\frac{bC\dot{\theta}}{S^2}

3.3 Tercer método

También puede hallarse con ayuda del CIR calculado antes. En el movimiento {20} A efectúa una rotación en torno a I20, por lo que

\vec{v}^A_{20}=\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{I_{20}A}

siendo

\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=-\dot{\theta}\qquad\qquad \overrightarrow{I_{20}A}=-\frac{bC}{S^2}\vec{\jmath}_0

de donde

\vec{v}^A_{20}=-\dot{\theta}\vec{k}\times\left( -\frac{bC}{S^2}\vec{\jmath}_0\right)=-\frac{bC\dot{\theta}}{S^2}\vec{\imath}_0

Luego, la absoluta se puede hallar como suma de la relativa y la de arrastre

\vec{v}^A_{21}=\vec{v}^A_{20}+\vec{v}^A_{01}=-\frac{bC\dot{\theta}}{S^2}\vec{\imath}_0+\frac{b\dot{\theta}}{S}\vec{\jmath}_0=-\frac{b\dot{\theta}}{S^2}\left(C\vec{\imath}_0-S\vec{\jmath}_0\right)=-\frac{b\dot{\theta}}{S^2}\vec{\imath}_1

4 Velocidad angular {20}

Por composición de velocidades angulares

\omega_{20}=\omega_{21}+\omega_{10}=-\dot{\theta}\qquad\qquad \overrightarrow{I_{20}A}=-\frac{bC}{S^2}\vec{\jmath}_0

5 Aceleración de G

5.1 Primer método

La aceleración de G. el centro de la placa, en el movimiento {21} es la misma que la de A, por tratarse de una traslación

\vec{a}^G_{21}=\vec{a}^A_{21}=a^A_{21}\vec{\imath}_1

Calcularemos la aceleración de A. En el movimiento {01}, A efectúa una rotación en torno a O

\vec{a}^A_{01}=\alpha_{01}\vec{k}\times\overrightarrow{OA}-\omega_{01}^2\overrightarrow{OA}=\frac{b\ddot{\theta}}{S}\vec{\jmath}_0-\frac{b\dot{\theta}^2}{S}\vec{\imath}_0

mientras que en el movimiento {20} desliza a lo largo de la barra

\vec{a}^A_{20}=a^A_{20}\vec{\imath}_0

Por el teorema de Coriolis

\vec{a}^A_{21}=\vec{a}^A_{20}+\vec{a}^A_{01}+2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}

siendo el último término

2\omega_{01}\vec{k}\times\vec{v}^A_{20}=2\dot{\theta}\vec{k}\times \left(-\frac{bC\dot{\theta}}{S^2}\vec{\imath}_0\right)=-\frac{2bC\dot{\theta}^2}{S^2}\vec{\jmath}_0

Por tanto, tenemos la igualdad

a^A_{21}\vec{\imath}_1=a^A_{20}\vec{\imath}_0+\frac{b\ddot{\theta}}{S}\vec{\jmath}_0-\frac{b\dot{\theta}^2}{S}\vec{\imath}_0-\frac{2bC\dot{\theta}^2}{S^2}\vec{\jmath}_0

Si proyectamos sobre \vec{\jmath}_0, como hicimos con la velocidad,

-a^A_{21}S=\frac{b\ddot{\theta}}{S}-\frac{2bC\dot{\theta}^2}{S^2}

de donde

\vec{a}^G_{21}=\vec{a}^A_{21}=\left(-\frac{b\ddot{\theta}}{S^2}+\frac{2bC\dot{\theta}^2}{S^3}\right)\vec{\imath}_1

5.2 Segundo método

Este es un caso en el que también se puede obtener la velocidad y la aceleración derivando, por ser G un punto material perfectamente identificable al que se puede seguir en su movimiento. La posición de G en cada instante es

\overrightarrow{OG}=\left(x_A+\frac{b}{2}\right)\vec{\imath}_1+\frac{b}{2}\vec{\jmath}_1=\left(b\,\mathrm{cotg}(\theta)+\frac{b}{2}\right)\vec{\imath}_1+\frac{b}{2}\vec{\jmath}_1

Derivamos respecto al tiempo una vez y obtenemos la velocidad

\vec{v}^G_{21}=-\frac{b\dot{\theta}}{S^2}\vec{\imath}_1

Derivamos por segunda vez respecto al tiempo y hallamos la aceleración

\vec{a}^G_{21}=\left(-\frac{b\ddot{\theta}}{S^2}+\frac{2bC\dot{\theta}^2}{S^3}\right)\vec{\imath}_1

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