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Avance de tres ruedas

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
Línea 44: Línea 44:
Obsérvese que este resultado es independiente del valor de los radios  o de la distancia entre los rodillos inferiores.
Obsérvese que este resultado es independiente del valor de los radios  o de la distancia entre los rodillos inferiores.
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==Cantidad de movimiento==
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La cantidad de movimiento del sistema es la suma de las de sus partes y cada una de estas es igual a la masa por la velocidad de su CM
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<center><math>\vec{p}=m_1\vec{v}^C_{10}+m_2\vec{v}^{C_2}_{20}+m_3\vec{v}^{C_3}_{30}=(m_1+m_2+m_3)v_0 \vec{\imath}_0=12\,\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\vec{\imath}_0</math></center>

Revisión de 08:02 16 sep 2021

Contenido

1 Enunciado

Se tiene un sistema de tres rodillos cilíndricos macizos. Uno de ellos tiene masa m_1=6\,\mathrm{kg} y radio R=15\,\mathrm{cm}. Los otros dos tienen masa m_2=m_3=2\,\mathrm{kg} y radio r=10\,\mathrm{cm}. Los rodillos están unidos por un armazón rígido triangular sin masa (que sería el sólido “4”), de manera que los centros de los rodillos inferiores distan D=30\,\mathrm{cm}

En un instante dado el centro C del rodillo “1” avanza con velocidad \vec{v}_{10}^C=12\vec{\imath}⃗ (\mathrm{cm}/\mathrm{s}) (siendo el sólido “0” el suelo). Determine:

  1. Las velocidades angulares de los tres rodillos respecto al suelo.
  2. La posición del centro instantáneo de rotación I10.
  3. La cantidad de movimiento del sistema.
  4. El momento cinético del sistema respecto al punto O.
  5. La energía cinética del sistema.

2 Velocidades angulares

2.1 De los rodillos inferiores

Dado que el armazón se traslada hacia adelante, las velocidades de los tres centros, respecto al suelo deben ser iguales.

\vec{v}^{C}_{10}=\vec{v}^{C_2}_{20}=\vec{v}^{C_3}_{30}=v_0\vec{\imath}_0

Como el rodillo 2 está rodando sobre el suelo, si A es el punto de contacto con éste

\vec{0}=\vec{v}^A_{20}=v_0\vec{\imath}_0+\omega_{20}\vec{k}\times(-r\vec{\jmath}_0)=(v_0+\omega_{20}r)\vec{\imath}_0

por lo que

\omega_{20}=-\frac{v_0}{r}

y, por la misma razón

\omega_{30}=-\frac{v_0}{r}

2.2 Del rodillo superior

El rodillo superior rueda sobre los inferiores. Si P es el punto de contacto entre el rodillo 2 y el 1 se cumple

\vec{v}^P_{12}=\vec{0}\qquad\Rightarrow\qquad \vec{v}^P_{10}=\vec{v}^P_{20}

La velocidad de P, como punto del rodillo 2, es

\vec{v}^P_{20} = \vec{v}^{C_2}_{20}+\omega_{20}\vec{k}\times\overrightarrow{C_2P}=v_0\vec{\imath}_0-\frac{v_0}{r}\vec{k}\times(r\vec{\jmath}_2)=v_0\vec{\imath}_0+v_0\vec{\imath}_2

siendo \{\vec{\imath}_2,\vec{\jmath}_2\} una base girada de forma que \vec{\jmath}_2 va a lo largo de la varilla (no es imprescindible emplear esta base, puede hacerse todo en la base "0", introduciendo los senos y cosenos correspondientes).

La velocidad de P como parte del sólido 1 es

\vec{v}^P_{10} = \vec{v}^{C}_{10}+\omega_{10}\vec{k}\times\overrightarrow{CP}=v_0\vec{\imath}_0+\omega_{10}\vec{k}\times(-R\vec{\jmath}_2)=v_0\vec{\imath}_0+\omega_{10}R\vec{\imath}_2

Igualando las dos expresiones resulta

\omega_{10}=\frac{v_0}{R}

Los valores numéricos de estas cantidades son

\omega_{20}=\omega_{30}=-\frac{v_0}{r}=-\frac{12\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{10\,\mathrm{cm}}=-1.2\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

y

\omega_{10}=+\frac{v_0}{R}=-\frac{12\,\mathrm{cm}/\mathrm{s}}{15\,\mathrm{cm}}=+0.8\,\frac{\mathrm{rad}}{\mathrm{s}}

3 Centro instantáneo de rotación

Una vez que tenemos la velocidad angular de un sólido y la lineal en un punto, podemos hallar la posición del CIR respecto a él

\overrightarrow{CI}_{10}=\frac{\vec{k}\times\vec{v}^C_{10}}{\omega_{10}}=\frac{\vec{k}\times(v_0 \vec{\imath}_0)}{v_0/R}=R\vec{\jmath}_0

es decir, que el CIR del movimiento {10} se encuentra en el punto más alto del rodillo superior. Sus coordenadas respecto al origen, en cm, serían (0,45).

Este mismo punto se puede localizar por métodos gráficos. Por ejemplo, con ayuda del teorema de los tres centros. Debe estar alineado con el CIR I21 (el punto P de contacto entre los dos rodillos 1 y 2) y con el I20 (el punto de contacto del rodillo inferior con el suelo). De la misma manera debe estar alineado con el I13 y con el I30. Esto da dos rectas simétricas que se cortan en el punto superior del rodillo.

Obsérvese que este resultado es independiente del valor de los radios o de la distancia entre los rodillos inferiores.

4 Cantidad de movimiento

La cantidad de movimiento del sistema es la suma de las de sus partes y cada una de estas es igual a la masa por la velocidad de su CM

\vec{p}=m_1\vec{v}^C_{10}+m_2\vec{v}^{C_2}_{20}+m_3\vec{v}^{C_3}_{30}=(m_1+m_2+m_3)v_0 \vec{\imath}_0=12\,\frac{\mathrm{kg}\cdot\mathrm{cm}}{\mathrm{s}}\vec{\imath}_0

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