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Aro centrado en el origen (MR G.I.C.)

De Laplace

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(Página creada con '== Enunciado == right Tenemos un aro homogéneo de masa <math>M</math> y radio <math>R</math> con centro <math>O</math>. Se escogen los e…')
(Momento cinético en la rotación)
 
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#Calcula la matriz de inercia en <math>O</math>, usando los ejes indicados en la figura.
#Calcula la matriz de inercia en <math>O</math>, usando los ejes indicados en la figura.
#Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por <math>O</math> y forma un ángulo de <math>\pi/3</math> con el eje <math>OX_3</math>.
#Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por <math>O</math> y forma un ángulo de <math>\pi/3</math> con el eje <math>OX_3</math>.
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#El aro gira alrededor del eje anterior con un vector rotación <math>\vec{\omega} </math> paralelo al eje. Calcula el momento cinético en <math>O </math> y la energía cinética del aro.
== Solución ==
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=== Momento de inercia respecto a un eje ===
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Conocido el tensor de inercia, el momento de inercia respecto a un eje <math>\Delta </math> que pase por el punto es
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I_{\Delta}
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donde <math>\vec{n} </math> es un vector unitario en la dirección del eje <math>\Delta </math>.
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Por simetría,  podemos considerar que el eje <math>\Delta </math> está en el plano <math>X_2X_3 </math>. El resultado no debe cambiar si giramos el eje alrededor de <math>X_3 </math>. Entonces el vector <math>\vec{n} </math> es
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\vec{n} = [0, \mathrm{sen}\,(\pi/3), \cos(\pi/3)]
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El vector rotación puede escribirse <math>\vec{\omega}=\omega\vec{n} </math> siendo <math>\vec{n} </math> el vector unitario paralelo al eje del apartado anterior. Al se <math>O </math> un punto fijo, el momento cinético es
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Podemos ver que el momento cinético <math>\vec{L}_O </math> y el vector rotación no son paralelos. El ángulo que forman es
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\cos\alpha = \dfrac{\vec{L}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{L}_O||\vec{\omega}|}
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Por tanto el eje  no es dirección principal de inercia
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La energía cinética es, al ser <math>O </math> un punto fijo
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T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega}
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\dfrac{\omega^2}{2}\vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n}
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\dfrac{1}{2}I_{\Delta}\omega^2
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\dfrac{5}{16}MR^2\omega^2
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[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido (MR)]]
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[[Categoría:Problemas de dinámica del sólido rígido]]

última version al 21:01 28 oct 2015

Contenido

1 Enunciado

Tenemos un aro homogéneo de masa M y radio R con centro O. Se escogen los ejes coordenadas como se indica en la figura.

  1. Calcula la matriz de inercia en O, usando los ejes indicados en la figura.
  2. Calcula el momento de inercia respecto a un eje que pasa por O y forma un ángulo de π / 3 con el eje OX3.
  3. El aro gira alrededor del eje anterior con un vector rotación \vec{\omega} paralelo al eje. Calcula el momento cinético en O y la energía cinética del aro.

2 Solución

2.1 Tensor de inercia

La forma general del tensor de inercia en un punto es


\overleftrightarrow{I_O}
=
\left[
\begin{array}{ccc}
I_{11} & -P_{12} & -P_{13}\\
-P_{12} & I_{22} & -P_{23}\\
-P_{13} & -P_{23} & I_{33}
\end{array}
\right]

Ya hemos usado que el tensor es simétrico. Vamos a calcular primero los elementos no diagonales.

Tenemos


P_{13} = \int\mathrm{d}m\,x_1x_3=0

Esta integral se anula porque para todos los puntos del aro se cumple x3 = 0. Por la misma razón tenemos


P_{23} = \int\mathrm{d}m\,x_2x_3=0

Para el otro producto de inercia


P_{12} = \int\mathrm{d}m\,x_1x_2 =
\int\mathrm{d}m (R\cos\theta)(R\,\mathrm{sen}\,\theta)

Tenemos


\mathrm{d}m = \dfrac{M}{2\pi R}\,R\mathrm{d}\theta

por lo que


P_{12} = \int\limits_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \dfrac{MR}{2\pi}\cos\theta\,\mathrm{sen}\,\theta
=
\dfrac{MR}{4\pi} \int_{0}^{2\pi}\mathrm{d}\theta \,\mathrm{sen}\,(2\theta)
=0

Los tres productos de inercia son cero. Este resultado se puede obtener sin hacer cuentas con argumentos de simetría. Al ser el aro un sólido plano, el eje X3 es principal de inercia, pues es perpendicular al plano del sólido. Y como el aro tiene simetría de revolución alrededor de X3, todas las direcciones perpendiculares a X3 que pasen por O son principales de inercia, en particular X1 y X2. Entonces, el tensor de inercia es diagonal respecto a los tres ejes indicados.

Vamos con los momentos de inercia. Al ser un sistema plano tenemos

I33 = I11 + I22

Y por la simetría del aro tenemos


I_{11} = I_{22}\Longrightarrow I_{11} = I_{22} = \dfrac{1}{2}I_{33}

Basta entonces con calcular I33.


I_{33} ) \int\mathrm{d}m\,(x_1^2+x_2^2) =
\int\mathrm{d}m R^2=
R^2\int\mathrm{d} m =
MR^2

Todos los puntos están a la misma distancia del eje X3, el radio del aro R. Y la integral que queda es la masa total del aro.

Entonces el tensor de inercia en O es


\overleftrightarrow{I_O}
=
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]

con


I = \dfrac{1}{2}M R^2

2.2 Momento de inercia respecto a un eje

Conocido el tensor de inercia, el momento de inercia respecto a un eje Δ que pase por el punto es


I_{\Delta}
=
\vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n}

donde \vec{n} es un vector unitario en la dirección del eje Δ.

Por simetría, podemos considerar que el eje Δ está en el plano X2X3. El resultado no debe cambiar si giramos el eje alrededor de X3. Entonces el vector \vec{n} es


\vec{n} = [0, \mathrm{sen}\,(\pi/3), \cos(\pi/3)]
=
[0, \sqrt{3}/2, 1/2]

El momento de inercia pedido es


I_{\Delta} = 
I[0, \sqrt{3}/2, 1/2]
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\sqrt{3}/2 \\
1/2
\end{array}
\right]
=
I[0, \sqrt{3}/2, 1/2]
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\sqrt{3}/2 \\
1
\end{array}
\right]=
I\left(\dfrac{3}{4} + \dfrac{1}{2}\right)
=
\dfrac{5}{4}I=
\dfrac{5}{8}MR^2

2.3 Momento cinético en la rotación

El vector rotación puede escribirse \vec{\omega}=\omega\vec{n} siendo \vec{n} el vector unitario paralelo al eje del apartado anterior. Al se O un punto fijo, el momento cinético es


\vec{L}_O = \overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega} =
I
\left[
\begin{array}{ccc}
1 & 0 & 0\\
0 & 1 & 0\\
0 & 0 & 2
\end{array}
\right]
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\sqrt{3}\omega/2 \\
\omega/2
\end{array}
\right]
=
I\omega
\left[
\begin{array}{c}
0\\
\sqrt{3}/2 \\
 1
\end{array}
\right]

Podemos ver que el momento cinético \vec{L}_O y el vector rotación no son paralelos. El ángulo que forman es


\cos\alpha = \dfrac{\vec{L}_O\cdot\vec{\omega}}{|\vec{L}_O||\vec{\omega}|}
=
\dfrac{5}{2\sqrt{7}}

Por tanto el eje no es dirección principal de inercia

La energía cinética es, al ser O un punto fijo


T = \dfrac{1}{2}\vec{\omega}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{\omega}
=
\dfrac{\omega^2}{2}\vec{n}\cdot\overset{\leftrightarrow}{I}_O\cdot\vec{n}
=
\dfrac{1}{2}I_{\Delta}\omega^2
=
\dfrac{5}{16}MR^2\omega^2

Herramientas:

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