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6.1. Movimiento de un aro en un pasador

De Laplace

(Diferencias entre revisiones)
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Sea un aro de centro <math>C</math> y radio <math>R</math> (sólido &ldquo;2&rdquo;) que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido <math>1</math>), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto <math>O</math>, y además se halla articulado en su punto <math>A</math> a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal <math>OX_1</math> (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes <math>AX_2Y_2</math> (sólido <math>2</math>) solidario con el aro en su movimiento.
Sea un aro de centro <math>C</math> y radio <math>R</math> (sólido &ldquo;2&rdquo;) que se mueve, en un plano fijo <math>OX_1Y_1</math> (sólido <math>1</math>), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto <math>O</math>, y además se halla articulado en su punto <math>A</math> a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal <math>OX_1</math> (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes <math>AX_2Y_2</math> (sólido <math>2</math>) solidario con el aro en su movimiento.
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# Determine gráfica y analíticamente la posición del C.I.R. del movimiento {21}.
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# Determine gráfica y analíticamente la posición del centro instantáneo de rotación (CIR) del movimiento {21}.
# Sabiendo que el ángulo <math>\theta</math>, que forman los ejes <math>OX_1</math> y <math>AX_2</math>, verifica la ley horaria <math>\theta(t)=\omega t</math> (donde <math>\omega</math> es una constante conocida), calcule <math>\vec{v}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{21}(t)</math>.
# Sabiendo que el ángulo <math>\theta</math>, que forman los ejes <math>OX_1</math> y <math>AX_2</math>, verifica la ley horaria <math>\theta(t)=\omega t</math> (donde <math>\omega</math> es una constante conocida), calcule <math>\vec{v}^{A}_{21}(t)</math> y <math>\vec{a}^{\, C}_{21}(t)</math>.
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==Posición del CIR==
==Posición del CIR==
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En la mayoría de los problemas de movimiento plano, existe más de una forma de determinar geométricamente la posición del centro instantáneo de rotación.
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El procedimiento habitual suele ser buscar dos puntos para los cuales se conoce la dirección de la velocidad, trazar las perpendiculares a estas direcciones y localizar la intersección de estas rectas.
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Alternativamente, con ayuda del teorema de los tres centros, puede sustituirse alguna (o las dos) de las rectas perpendiculares anteriores por una recta que pasa por dos CCIIR conocidos.
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Así para este caso, tenemos entre otras, las siguientes posibilidades:
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===Usando las velocidades de A y O===
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Si buscamos dos puntos cuya dirección de movimiento, un candidato es inmediato: el punto A del aro se encuentra obligado a deslizarse sobre el eje <math>OX_1</math>. Por tanto la velocidad de este punto puede escribirse
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y la perpendicular a su velocidad es una recta paralela al eje <math>OY_1</math> que pasa por A.
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Un segundo candidato no es tan obvio. En esta situación lo mas productivo suele ser analizar los pares cinemáticos: puntos de articulación, de contacto, etc. y ver qué limitaciones imponen al movimiento de los sólidos.
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En este caso tenemos que el anillo está obligado a pasar por el punto O. El vínculo bilateral que establece el pasador implica que el punto O del aro en el movimiento {21} no puede moverse perpendicularmente al propio aro, sino que se ve obligado a deslizarse tangencialmente a él. Esto quiere decir que
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La perpendicular a este movimiento es una recta radial que pasa por O y C.
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Esta recta corta a la anterior en el punto D, diametralmente opuesto a O y situado en la vertical de A, que será el centro instantáneo de rotación <math>I_{21}</math>.
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===Usando las velocidades de A y C===
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En lugar del punto O, cuya dirección de movimiento puede no ser intuitiva, podemos usar el punto C, centro del anillo como segundo punto. Dado que el aro se ve en todo momento obligado a pasar por el punto O, la distancia <math>|\overrightarrow{OC}|</math> debe ser igual a R en todo momento. Esto quiere decir que el punto C, considerado parte del sólido &ldquo;2&rdquo; se mueve sergún un arco de circunferencia centrado en O. Su velocidad es tangente a esta circunferencia y la perpendicular será de nuevo la recta radial que pasa por O y C.
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Llegamos así de nuevo al punto D como centro instantáneo de rotación <math>I_{21}</math>.
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===A partir del movimiento de un diámetro===
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Consideremos el diámetro AB del aro como parte del sólido &ldquo;2&rdquo;. Tenemos aquí un diámetro AB y un punto O situado sobre la misma circunferencia. Por el teorema del [[arco capaz]], la recta OA es perpendicular a la OB. Esto quiere decir que el punto B, diametralmente opuesto a A, se mueve en todo momento a lo largo del eje <math>OY_1</math>:
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La perpendicular a esta velocidad de B es una recta horizontal que corta a la perpendicular que pasa por A en el punto D, cuarto vértice del rectángulo OADB.
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Vemos que, aunque un problema habla de un aro, su movimiento es equivalente al de una escalera AB que se mueve deslizándose por el suelo y una pared vertical.
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==Velocidad y aceleración==
==Velocidad y aceleración==
[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]
[[Categoría:Problemas de movimiento plano (G.I.T.I.)]]

Revisión de 11:01 19 dic 2010

Contenido

1 Enunciado

Sea un aro de centro C y radio R (sólido “2”) que se mueve, en un plano fijo OX1Y1 (sólido 1), de tal modo que está obligado a deslizar en todo instante por el interior de un pasador giratorio situado en el punto O, y además se halla articulado en su punto A a un deslizador que se mueve siempre sobre el eje horizontal OX1 (ver figura). Con carácter auxiliar, se define el sistema de ejes AX2Y2 (sólido 2) solidario con el aro en su movimiento.

  1. Determine gráfica y analíticamente la posición del centro instantáneo de rotación (CIR) del movimiento {21}.
  2. Sabiendo que el ángulo θ, que forman los ejes OX1 y AX2, verifica la ley horaria θ(t) = ωt (donde ω es una constante conocida), calcule \vec{v}^{A}_{21}(t) y \vec{a}^{\, C}_{21}(t).
Archivo:aro-pasador.png

2 Posición del CIR

En la mayoría de los problemas de movimiento plano, existe más de una forma de determinar geométricamente la posición del centro instantáneo de rotación.

El procedimiento habitual suele ser buscar dos puntos para los cuales se conoce la dirección de la velocidad, trazar las perpendiculares a estas direcciones y localizar la intersección de estas rectas.

Alternativamente, con ayuda del teorema de los tres centros, puede sustituirse alguna (o las dos) de las rectas perpendiculares anteriores por una recta que pasa por dos CCIIR conocidos.

Así para este caso, tenemos entre otras, las siguientes posibilidades:

2.1 Usando las velocidades de A y O

Si buscamos dos puntos cuya dirección de movimiento, un candidato es inmediato: el punto A del aro se encuentra obligado a deslizarse sobre el eje OX1. Por tanto la velocidad de este punto puede escribirse

\vec{v}^A_{21}=v^A\vec{\imath}_1

y la perpendicular a su velocidad es una recta paralela al eje OY1 que pasa por A.

Un segundo candidato no es tan obvio. En esta situación lo mas productivo suele ser analizar los pares cinemáticos: puntos de articulación, de contacto, etc. y ver qué limitaciones imponen al movimiento de los sólidos.

En este caso tenemos que el anillo está obligado a pasar por el punto O. El vínculo bilateral que establece el pasador implica que el punto O del aro en el movimiento {21} no puede moverse perpendicularmente al propio aro, sino que se ve obligado a deslizarse tangencialmente a él. Esto quiere decir que

\vec{v}^O_{21}=v^O\vec{\jmath}_2

La perpendicular a este movimiento es una recta radial que pasa por O y C.

Esta recta corta a la anterior en el punto D, diametralmente opuesto a O y situado en la vertical de A, que será el centro instantáneo de rotación I21.

2.2 Usando las velocidades de A y C

En lugar del punto O, cuya dirección de movimiento puede no ser intuitiva, podemos usar el punto C, centro del anillo como segundo punto. Dado que el aro se ve en todo momento obligado a pasar por el punto O, la distancia |\overrightarrow{OC}| debe ser igual a R en todo momento. Esto quiere decir que el punto C, considerado parte del sólido “2” se mueve sergún un arco de circunferencia centrado en O. Su velocidad es tangente a esta circunferencia y la perpendicular será de nuevo la recta radial que pasa por O y C.

Llegamos así de nuevo al punto D como centro instantáneo de rotación I21.

2.3 A partir del movimiento de un diámetro

Consideremos el diámetro AB del aro como parte del sólido “2”. Tenemos aquí un diámetro AB y un punto O situado sobre la misma circunferencia. Por el teorema del arco capaz, la recta OA es perpendicular a la OB. Esto quiere decir que el punto B, diametralmente opuesto a A, se mueve en todo momento a lo largo del eje OY1:

\vec{v}^B_{21}=v^B\vec{\jmath}_1

La perpendicular a esta velocidad de B es una recta horizontal que corta a la perpendicular que pasa por A en el punto D, cuarto vértice del rectángulo OADB.

Vemos que, aunque un problema habla de un aro, su movimiento es equivalente al de una escalera AB que se mueve deslizándose por el suelo y una pared vertical.



3 Velocidad y aceleración

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