Transformación Δ-Y (delta-estrella)

Enunciado

En la transformación Δ-Y (delta-estrella) se trata de relacionar dos sistemas equivalentes. En la configuración delta tenemos tres condensadores formando un triángulo entre tres nodos. En la configuración en estrella tenemos tres condensadores unidos a un nodo central descargado.

1. Demuestre que dadas las capacidades de la estrella $C_{1}$, $C_{2}$ y $C_{3}$, las capacidades de la delta $C_{12}$, $C_{13}$ y $C_{23}$ vienen dadas por

${\begin{array}{ccccc}C_{12}={\dfrac {C_{1}C_{2}}{S}}&\qquad &C_{13}={\dfrac {C_{1}C_{3}}{S}}&\qquad &C_{23}={\frac {C_{2}C_{3}}{S}}\\&&&&\\&&S=C_{1}+C_{2}+C_{3}&&\end{array}}$

1. Demuestre las relaciones inversas: dadas las capacidades de la delta, $C_{12}$, $C_{13}$ y $C_{23}$, las capacidades de la estrella, $C_{1}$, $C_{2}$ y $C_{3}$. vienen dadas por

${\begin{array}{ccccc}C_{1}={\dfrac {P}{C_{23}}}&\qquad &C_{2}={\dfrac {P}{C_{13}}}&\qquad &C_{3}={\dfrac {P}{C_{12}}}\\&&&&\\&&P=C_{12}C_{13}+C_{12}C_{23}+C_{13}C_{23}&&\end{array}}$

1. Calcule la configuración en estrella equivalente a una configuración delta en la que las capacidades valen $C_{12}=20\,\mathrm {nF}$, $C_{13}=30\,\mathrm {nF}$, $C_{23}=12\,\mathrm {nF}$.
2. Calcule la configuración en delta equivalente a una configuración en estrella en la cual $C_{1}=100\,\mathrm {pF}$, $C_{2}=400\,\mathrm {pF}$,$C_{3}=500\,\mathrm {pF}$.
3. Para los dos apartados anteriores, suponga que $V_{1}=10\,\mathrm {V}$, $V_{2}=5\,\mathrm {V}$, $V_{3}=0\,\mathrm {V}$. Para las dos configuraciones equivalentes calcule la energía almacenada y compruebe que se llega al mismo resultado.

De la estrella a la delta

Cuando tenemos voltajes $V_{1}$, $V_{2}$ y $V_{3}$ aplicados en los respectivos nodos, la carga en las placas conectadas al nodo 1 de la delta es

$Q_{1}=C_{12}(V_{1}-V_{2})+C_{13}(V_{1}-V_{3})$

En la estrella, la misma carga es

$Q_{1}=C_{1}(V_{1}-V_{0})$

siendo $V_{0}$ el voltaje del nodo central. Para hallar este voltaje observamos que en el conductor central no hay carga (no puede haber llegado de ninguna manera), por lo que

$C_{a}(V_{0}-V_{1})+C_{2}(V_{0}-V_{2})+C_{3}(V_{0}-V_{3})=0\qquad \Rightarrow \qquad V_{0}={\dfrac {C_{1}V_{1}+C_{2}V_{2}+C_{3}V_{3}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}}$

Llevamos esto a la expresión de la carga y nos queda

$Q_{1}=C_{2}(V_{1}-V_{0})=C_{1}\left(V_{1}-{\dfrac {C_{1}V_{1}+C_{2}V_{2}+C_{3}V_{3}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}}\right)={\frac {C_{1}C_{2}(V_{1}-V_{2})+C_{1}C_{3}(V_{1}-V_{3})}{S}}$

con

$S=C_{1}+C_{2}+C_{3}$

Comparando esta expresión con la correspondiente a la delta obtenemos la equivalencia

$C_{12}={\dfrac {C_{1}C_{2}}{S}}\qquad \qquad C_{13}={\dfrac {C_{1}C_{3}}{S}}$

Si operamos de la misma manera con la carga del conductor 2 obtenemos la equivalencia restante

$C_{23}={\dfrac {C_{2}C_{3}}{S}}$

De la estrella a la delta

Para obtener la relación inversa, debemos despejar $C_{1}$, $C_{2}$ y $C_{3}$ de las relaciones anteriores, lo que no es trivial.

Comenzamos calculando la cantidad P definida en el enunciado

$P=C_{12}C_{13}+C_{12}C_{23}+C_{13}C_{23}={\frac {C_{1}^{2}C_{2}C_{3}}{S^{2}}}+{\frac {C_{1}C_{2}^{2}C_{3}}{S^{2}}}+{\frac {C_{1}C_{2}C_{3}^{2}}{S^{2}}}$

Extraemos aquí factor común

$P={\frac {C_{1}C_{2}C_{3}(C_{1}+C_{2}+C_{3})}{S^{2}}}{\frac {C_{1}C_{2}C_{3}S}{S^{2}}}={\frac {C_{1}C_{2}C_{3}}{S}}$

y, una vez que tenemos esta identidad queda

$C_{12}={\dfrac {C_{1}C_{2}}{S}}={\frac {P}{C_{3}}}\qquad \Rightarrow \qquad C_{3}={\frac {P}{C_{12}}}$

y, de la misma manera,

$C_{1}={\dfrac {P}{C_{23}}}\qquad \qquad C_{2}={\dfrac {P}{C_{13}}}$

Estrella equivalente a una delta

En el caso particular $C_{12}=20\,\mathrm {nF}$, $C_{13}=30\,\mathrm {nF}$, $C_{23}=12\,\mathrm {nF}$ tenemos

$P=C_{12}C_{13}+C_{12}C_{23}+C_{13}C_{23}=(20\cdot 30+20\cdot 12+30\cdot 12)\mathrm {nF} ^{2}=1200\,\mathrm {nF} ^{2}$

lo que nos da las capacidades de la estrella

$C_{1}={\frac {P}{C_{23}}}={\frac {1200}{12}}\,\mathrm {nF} =100\,\mathrm {nF} \qquad \qquad C_{2}={\frac {1200}{30}}\,\mathrm {nF} =40\,\mathrm {nF} \qquad \qquad C_{3}={\frac {1200}{20}}\,\mathrm {nF} =60\,\mathrm {nF}$

Delta equivalente a una estrella

Si tenemos que $C_{1}=100\,\mathrm {pF}$, $C_{2}=400\,\mathrm {pF}$,$C_{3}=500\,\mathrm {pF}$ hallamos

$S=C_{1}+C_{2}+C_{3}=1000\,\mathrm {pF}$

y obtenemos

$C_{12}={\frac {C_{1}C_{2}}{S}}={\frac {100\cdot 400}{1000}}\,\mathrm {pF} =40\,\mathrm {pF} \qquad \qquad C_{13}={\frac {100\cdot 500}{1000}}\,\mathrm {pF} =50\,\mathrm {pF} \qquad \qquad C_{3}={\frac {400\cdot 500}{1000}}\,\mathrm {pF} =200\,\mathrm {pF}$

Comparación de la energía

Primer caso

Si nos dan $V_{1}=10\,\mathrm {V}$, $V_{2}=5\,\mathrm {V}$, $V_{3}=0\,\mathrm {V}$, la delta nos da la energía

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}C_{12}(V_{1}-V_{2})^{2}+{\frac {1}{2}}C_{13}(V_{1}-V_{3})^{2}+{\frac {1}{2}}C_{23}(V_{2}-V_{3})^{2}=\left({\frac {1}{2}}20\cdot 5^{2}+{\frac {1}{2}}30\cdot 5^{2}+{\frac {1}{2}}12\cdot 10^{2}\right)\,\mathrm {nJ} =1.9\,\mu \mathrm {J}$

Para calcular esta energía con la estrella primero hallamos el voltaje del nodo central

$V_{0}={\dfrac {C_{1}V_{1}+C_{2}V_{2}+C_{3}V_{3}}{C_{1}+C_{2}+C_{3}}}={\frac {100\cdot 10+40\cdot 5+60\cdot 0}{100+40+60}}\,\mathrm {V} =6\,\mathrm {V}$

y esto nos da la energía

$U_{\mathrm {e} }={\frac {1}{2}}C_{1}(V_{1}-V_{0})^{2}+{\frac {1}{2}}C_{2}(V_{2}-V_{0})^{2}+{\frac {1}{2}}C_{3}(V_{3}-V_{0})^{2}=\left({\frac {1}{2}}100\cdot 4^{2}+{\frac {1}{2}}60\cdot 1^{2}+{\frac {1}{2}}40\cdot 6^{2}\right)\,\mathrm {nJ} =1.9\,\mu \mathrm {J}$

En el segundo caso

Para la estrella calculamos en primer lugar el voltaje del nodo central

$V_{0}={\frac {100\cdot 10+400\cdot 5+500\cdot 0}{100+400+500}}=3\,\mathrm {V}$

y estpo nos da la energía

$U_{\mathrm {e} }=\left({\frac {1}{2}}100\cdot 7^{2}+{\frac {1}{2}}400\cdot 2^{2}+{\frac {1}{2}}500\cdot 3^{2}\right)\,\mathrm {pJ} =5.5\,\mathrm {nJ}$

Empleando la delta equivalente

$U_{\mathrm {e} }=\left({\frac {1}{2}}40\cdot 5^{2}+{\frac {1}{2}}50\cdot 10^{2}+{\frac {1}{2}}200\cdot 5^{2}\right)\,\mathrm {pJ} =5.5\,\mathrm {nJ}$