Dos superficies esféricas cargadas

Enunciado

Se tiene un sistema formado por dos superficies esféricas cargadas (“1” y “2”), de radios 4b y 2b, respectivamente. La superficie “2” se encuentra parcialmente en el interior de la “1”, centrada a una distancia 3b del centro de la “1”, punto que tomamos como origen de coordenadas. La superficie “1” almacena una carga +Q y la “2” una carga −Q, ambas distribuidas uniformemente sobre cada superficie

1. Calcule el campo eléctrico en los siguientes puntos del plano OXY:
   1. El origen de coordenadas $O(0,0)$
   2. El centro de la esfera “2” $A(3b,0)$
   3. El punto $B_{1}(b^{-},0)$ situado justo fuera de la esfera “2” y el punto $B_{2}(b^{+},0)$ situado justo dentro de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
   4. El punto $C_{1}(4b^{-},0)$ situado justo dentro de la esfera “1” y el punto $C_{2}(4b^{+},0)$ situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
   5. El punto $D_{1}(0,4b^{-})$ situado justo dentro de la esfera “1” y el punto $D_{2}(0,4b^{+})$ situado justo fuera de ella. ¿Cuánto vale la discontinuidad en el campo eléctrico en este punto?
2. Calcule el potencial eléctrico en los puntos anteriores, tomando como origen de potencial el infinito.
3. Halle el trabajo necesario para llevar una carga puntual $q_{0}$ desde el punto $G(6b,0)$ al punto $H(-6b,0)$ siguiendo un camino rectilíneo.
4. En puntos alejados del sistema, éste se ve como un dipolo eléctrico. ¿Cuál es el momento dipolar de la distribución?

Campo eléctrico

En cada punto del espacio, el campo eléctrico se puede calcular como la suma del debido a la esfera de carga positiva más el debido a la de carga negativa.

Asimismo, el campo de cada una de ellas en su interior es nulo y en su exterior es como el de una carga puntual con la carga total de la esfera y sutuada en el centro de ésta.

En el punto O

El origen de coordenadas se halla en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Se halla a 3 unidades del centro de esta esfera y en O el vector unitario radial hacia fuera de la esfera es $-{\vec {\imath }}$. Por tanto

${\vec {E}}_{O}={\vec {E}}_{O1}+{\vec {E}}_{O2}={\vec {0}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {(-Q)}{(3b)^{2}}}(-{\vec {\imath }})={\frac {Q}{36\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {\imath }}$

En el punto A

El punto A se encuentra en la intersección de ambas esferas y, por tanto, el campo debido a cada una es nulo.

${\vec {E}}_{A}={\vec {E}}_{A1}+{\vec {E}}_{A2}={\vec {0}}+{\vec {0}}={\vec {0}}$

En el punto B

En B₁

Este punto se encuentra, como O, dentro de una esfera y fuera de la otra, pero a una distancia 2b del centro de ésta. Por tanto,

${\vec {E}}_{B_{1}}={\vec {E}}_{B_{1}1}+{\vec {E}}_{B_{1}2}={\vec {0}}+{\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {(-Q)}{(2b)^{2}}}(-{\vec {\imath }})={\frac {Q}{16\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {\imath }}$

En B₂

Este punto se encuentra, como A, dentro de ambas esferas. Por tanto,

${\vec {E}}_{B_{2}}={\vec {E}}_{B_{2}1}+{\vec {E}}_{B_{2}2}={\vec {0}}+{\vec {0}}={\vec {0}}$

Discontinuidad del campo

Como vemos, en la superfice de la esfera, el campo presenta una discontinuidad igual a

${\vec {E}}(B_{2})-{\vec {E}}(B_{1})={\vec {0}}-{\frac {Q}{16\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {\imath }}=-{\frac {Q}{16\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {\imath }}$

Este salto se puede escribir como

${\vec {E}}(B_{2})-{\vec {E}}(B_{1})={\frac {(-Q)/(4\pi (2b)^{2})}{\varepsilon _{0}}}{\vec {\imath }}={\frac {\sigma _{s}}{\varepsilon _{0}}}{\vec {\imath }}$

siendo $\sigma _{s}$ la densidad superficial de carga de la esfera.

En el punto C

En C₁

Este punto se encuentra, como A, dentro de ambas esferas. Por tanto,

${\vec {E}}_{C_{1}}={\vec {E}}_{C_{1}1}+{\vec {E}}_{C_{2}}={\vec {0}}+{\vec {0}}={\vec {0}}$

En C₂

Este punto se encuentra dentro de la esfera negativa, pero fuera de la positiva, a una distancia $4b$ de su centro

${\vec {E}}_{C_{2}}={\vec {E}}_{C_{2}1}+{\vec {E}}_{C_{1}2}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {Q}{(4b)^{2}}}({\vec {\imath }})+{\vec {0}}={\frac {Q}{64\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {\imath }}$

Discontinuidad del campo

El campo presenta una discontinuidad

${\vec {E}}(C_{2})-{\vec {E}}(C_{1})={\frac {Q}{64\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {\imath }}-{\vec {0}}={\frac {Q}{64\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {\imath }}$

En el punto D

En el punto D₁

Este punto está en el interior de la esfera positiva y el exterior de la negativa. Para hallar el campo debido a la esfera de carga negativa usamos la expresión general para el campo de una carga puntual

${\vec {E}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {q({\vec {r}}-{\vec {r}}_{0})}{|{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}|^{3}}}$

siendo, en este caso

${\vec {r}}=4b{\vec {\jmath }}\qquad \qquad {\vec {r}}_{0}=3b{\vec {\imath }}$ ${\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}=-3b{\vec {\imath }}+4b{\vec {\jmath }}\qquad \qquad |{\vec {r}}-{\vec {r}}_{0}|=5b$

lo que nos da

${\vec {E}}_{D_{1}}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\,{\frac {(-Q)(-3b{\vec {\imath }}+4b{\vec {\jmath }})}{(5b)^{3}}}={\frac {Q(3{\vec {\imath }}-4{\vec {\jmath }})}{500\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}$

En el punto D₂

En este punto la contribución de la esfera negativa es la misma que en el anterior, pero ahor además hay un campo no nulo de la esfera de carga positiva

${\vec {E}}_{D_{1}}={\frac {Q}{64\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {\jmath }}+{\frac {Q(3{\vec {\imath }}-4{\vec {\jmath }})}{500\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}$

Discontinuidad

La discontinuidad es debida exclusivamente a la esfera positiva

${\vec {E}}(D_{2})-{\vec {E}}(D_{1})={\frac {Q}{64\pi \varepsilon _{0}b^{2}}}{\vec {\jmath }}$

Potencial eléctrico

De manera similar hallamos el potencial eléctrico. El debido a una efsera es igual al de una carga puntual en su exterior y es constante en el interior. No es preciso distinguir entre puntos a un lado y a otro de la superficie porque el potencial es una función continua.

En el punto O

Aplicando el potencial interior para la esfera de carga positiva y el exterior para la negativa resulta

$V_{O}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q}{4b}}+{\frac {(-Q)}{3b}}\right)=-{\frac {Q}{48\pi \varepsilon _{0}b}}$

En el punto A

Aplicamos la expresión para el interior de ambas esferas.

$V_{A}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q}{4b}}+{\frac {(-Q)}{2b}}\right)=-{\frac {Q}{16\pi \varepsilon _{0}b}}$

En el punto B

Aplicamos, como en A la expresión para el interior de las dos esferas

$V_{B}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q}{4b}}+{\frac {(-Q)}{2b}}\right)=-{\frac {Q}{16\pi \varepsilon _{0}b}}$

En el punto C

De manera análoga a los dos anteriores

$V_{C}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q}{4b}}+{\frac {(-Q)}{2b}}\right)=-{\frac {Q}{16\pi \varepsilon _{0}b}}$

En el punto D

En este caso tenemos el interior de la esfera de carga positiva y el exterior de la negativa

$V_{B}={\frac {1}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left({\frac {Q}{4b}}+{\frac {(-Q)}{5b}}\right)={\frac {Q}{80\pi \varepsilon _{0}b}}$

Trabajo para mover una carga

El trabajo lo podemos hallar como

$W_{\mathrm {in} }=q_{0}(V_{H}-V_{G})\,$

El potencial, tanto en H como en B se puede calcular como en el apartado anterior

$W_{\mathrm {in} }={\frac {q_{0}}{4\pi \varepsilon _{0}}}\left(\left({\frac {Q}{6b}}+{\frac {(-Q)}{9b}}\right)-\left({\frac {Q}{6b}}+{\frac {(-Q)}{3b}}\right)\right)={\frac {q_{0}Q}{12\pi \varepsilon _{0}b}}$

Momento dipolar=

En el exterior de ambas esferas, las dos se ven como cargas puntuales. El momento dipolar es el que corresponde a dos cargas puntuales, cada una en el centro de la esfera correspondiente.

${\vec {p}}=Q{\vec {0}}+(-Q)(3b{\vec {\imath }})=-3Qb{\vec {\imath }}$