Enunciado
Un tubo de sección S está dividido en dos cámaras de longitud L. Las paredes son adiabáticas y la pared central es inamovible y está forrada de aislante térmico. Inicialmente, en la cámara de la izquierda (“1”) hay aire a temperatura Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_1=T_0}
y presión Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_0}
y en la de la derecha (”2”) aire a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_2=3T_0}
y la misma presión. Se retira el aislante del tabique central (sin eliminar el tabique).
- ¿Cuál es la proporción entre las masas de aire de las dos cámaras?
- ¿Cuál es la temperatura final del aire en cada cámara?
- ¿Cuánto vale la fuerza sobre la pared central en el estado final?
Proporción entre masas
Para los dos cámaras se cumple la ley de los gases ideales
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle pV = m R_m T\,}
siendo en este caso iguales en las dos cámaras la constante de los gases (aire en ambas cámaras), la presión a la que se encuentran y el volumen que ocupan. Por tanto, se cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle m_1T_1 = m_2T_2\qquad\Rightarrow\qquad m_1T_0=m_2(3T_0)\qquad\Rightarrow\qquad m_1=3m_2}
Temperatura final del aire
Puesto que el sistema completo está aislado térmicamente, no se intercambia calor con el exterior. Puesto que es rígido, tampoco hay trabajo. Por tanto, se conserva la energía interna. Lo que aumente la de uno de las cámaras será igual a lo que disminuya la de la otra.
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \Delta U_1 + \Delta U_2 = 0\,}
Aplicando esta ecuación
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1c_v(T_f-T_1) + n_2c_v(T_f-T_2) = 0\,}
lo que da
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_f = \frac{n_1T_1+n_2T_2}{n_1+n_2}}
La proporción entre moles es la misma que entre masas
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle n_1=3n_2\qquad\qquad T_1=T_0\qquad\qquad T_2=3T_0}
y queda
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_f = \frac{3n_2T_0+n_2(3T_0)}{3n_2+n_2}=\frac{3}{2}T_0}
También puede llegarse a este resultado sin calcular previamente la proporción entre los números de moles observando que
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_1=n_1c_v = \frac{p_{1i}V_0}{RT_{1}}\,\frac{R}{\gamma-1}=\frac{p_0V_0}{T_0(\gamma-1)}}
y
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle C_2=n_2c_v = \frac{p_{2i}V_0}{RT_{2}}\,\frac{R}{\gamma-1}=\frac{p_0V_0}{3T_0(\gamma-1)}}
Por tanto
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Fuerza sobre la pared central
En el estado final, la presión de la cámara 1 cumple
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{p_{1f}}{T_{1f}}=\frac{p_{1i}}{T_{1i}}\qquad\Rightarrow\qquad p_{1f}=\frac{p_0(3T_0/2)}{T_0}=\frac{3}{2}p_0}
mientras que la de la cámara 2 verifica
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \frac{p_{2f}}{T_{2f}}=\frac{p_{2i}}{T_{2i}}\qquad\Rightarrow\qquad p_{2f}=\frac{p_0(3T_0/2)}{3T_0}=\frac{1}{2}p_0}
Esto nos da la fuerza de la cámara 1 a la 2
Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle F=(p_1-p_2)S = \left(\frac{3}{2}p_0-\frac{1}{2}p_0\right)S=p_0S}
Al calentarse el gas de la cámara 1 aumenta su presión, mientras que al enfriarse el gas de la cámara 2 disminuye la suya. Por tanto en el estado final hay una fuerza que va de la cámara 1 (mayor presión) a la 2 (menor presión).
Esta fuerza debe ser resistida por la rigidez de la pared central. Si en lugar de una pared tuviéramos un émbolo, éste se desplazaría hasta que se alcanzara simultáneamente el equilibrio térmico y el mecánico.
