Trabajo en una compresión por un peso

Enunciado

Un tubo vertical de sección cuadrada de 4.0 cm de lado contiene hidrógeno a 300 K y 100 kPa de presión, que también es la temperatura y presión exterior. La tapa del cilindro puede deslizarse sin rozamiento e inicialmente se encuentra a 10.0 cm de altura.

1. Suponiendo que las paredes del tubo son diatermas, calcule el trabajo realizado sobre el sistema entre el estado inicial y el estado de equilibrio final sí…
   1. Se coloca bruscamente sobre la tapa una pesa de 40 N.
   2. Se colocan sobre el émbolo 4.0 kg de arena grano a grano.
2. Calcule asimismo el trabajo si tras los procesos anteriores se retira el peso extra (o bien retirando la pesa o bien grano a grano).
3. Si consideramos el proceso completo de puesta y retirada del peso (en sus cuatro variantes posibles, según como se combinen), ¿cuál es el trabajo neto en cada uno?

Estado final del sistema

Si las paredes no están aisladas térmicamente, el sistema es capaz de alcanzar el equilibrio térmico con el ambiente. Esto quiere decir que la temperatura inicial y la final son iguales a la del entorno

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle T_A=T_B = T_0=300\,\mathrm{K}}

Por otro lado, al ser un gas ideal, en un proceso en el que la temperatura en los estados A y B es la mismase cumple la ley de Boyle (caso particular de la de los gases ideales)

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_AV_A = p_BV_B\,}

siendo la presión y el volumen iniciales

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A=p_0=100\,\mathrm{kPa}\qquad\qquad V_A = Sh_0 = 160\,\mathrm{cm}^3 = 0.160\,\mathrm{L}}

La presión final es la debida a la atmósfera más lo que aporta el peso.

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B = p_0+\frac{mg}{S}=100\,\mathrm{kPa}+\frac{40}{16\times 10^{-4}}\,\mathrm{Pa}=125\,\mathrm{kPa}}

De aquí obtenemos el volumen final

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle V_B = V_A\,\frac{p_A}{p_B}=V_A\frac{p_0}{p_0+mg/S}=0.160\,\mathrm{L}\frac{100}{125}=0.128\,\mathrm{L}}

siendo la nueva altura del pistón

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle h_B = \frac{V_B}{S}=8\,\mathrm{cm}}

Este resultado es el mismo tanto si el peso se coloca de una vez como si se coloca gradualmente en forma de granos de arena.

El valor del trabajo, en cambio, es diferente en cada caso.

Descenso con una pesa

Cuando se coloca un peso unitario de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle 40\,\mathrm{N}} la presión externa aumenta bruscamente de Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_A} a Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle p_B} y a partir de ahí permanece constante. La presión interior, en cambio, no sabemos cuanto vale, pues en el descenso brusco del pistón el gas no se encuentra en equilibrio y la presión variará de un punto a otro de la cámara. Esto no es problema, ya que el trabajo sobre el gas se calcula empleando la presión externa

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -\int_{A}^{B}p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V}

Como la presión externa es constante, se puede sustituir y sacar de la integral

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -p_B\int_{A}^{B}\mathrm{d}V = -p_B(V_B-V_A)}

Podemos calcular este valor numéricamente

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -125\,\mathrm{kPa}(0.128-0.160)\mathrm{L}=+4.00\,\mathrm{J}}

Resulta un valor positivo, ya que la compresión del gas supone un trabajo realizado sobre este, es decir, es un Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W_\mathrm{in}} .

Este resultado puede expresarse de otra forma con ayuda de la ley de Boyle

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -p_B(V_B-V_A) = -p_BV_B+p_BV_A = -p_AV_A+p_BV_A = V_A(p_B-p_A) = Sh_0\frac{mg}{S}=mgh_0}

Siendo el valor numérico calculado de esta forma

$W=40\times 0.1\,\mathrm {J} =4.00\,\mathrm {J}$

Este resultado se presta a una falsa interpretación, basada en razonar que si la pesa desciende, el trabajo realizado es igual a lo que disminuye su energía potencial. Esto es falso. La energía potencial de la pesa disminuye en Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle mg(h_B-h_A) = 0.8\,\mathrm{J}} . Hay una contribución también del trabajo realizado por la presión atmosférica.

Descenso acumulando arena

En el segundo caso, la presión exterior no es constante, sino que va variando a medida que se va añadiendo arena. Una forma de resolver este apartado sería suponer que para una presión dada, se añade un grano de arena de masa Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle \mathrm{d}m} , lo que reduce el volumen una cantidad diferencial, según la fórmula del apartado anterior. Sumando (integrando) todas las contribuciones se llega al trabajo total.

Sin embargo, es más fácil observar que si la presión se aumenta muy lentamente al gas le da tiempo a alcanzar el equilibrio térmico con el exterior, por lo que se trata de un proceso cuasiestático a temperatura constante. En este caso la presión interna del gas es igual a la exterior y el trabajo se puede hallar empleando la presión interior

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -\int_{A}^{B}p_\mathrm{ext}\,\mathrm{d}V = -\int_{A}^{B}p\,\mathrm{d}V}

y puesto que la temperatura permanece constante se cumple en todo momento

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle pV=p_AV_A \qquad\Rightarrow\qquad p=\frac{p_AV_A}{V}}

Llevando esto a la integral

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -p_AV_A\int_{A}^{B}\frac{\mathrm{d}V}{V}=-p_AV_A\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)}

Aplicando de nuevo la ley de Boyle podemos escribir esto en términos del cociente entre presiones en lugar de volúmenes

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = -p_AV_A\ln\left(\frac{V_B}{V_A}\right)=-p_AV_A\ln\left(\frac{p_A}{p_B}\right)=+p_AV_A\ln\left(\frac{p_B}{p_A}\right)}

Sustituyendo los valores numéricos

Error al representar (SVG (MathML puede ser habilitado mediante un plugin de navegador): respuesta no válida («Math extension cannot connect to Restbase.») del servidor «https://wikimedia.org/api/rest_v1/»:): {\displaystyle W = 100\,\mathrm{kPa}\cdot 0.160\mathrm{L}\ln\left(\frac{125}{100}\right)=3.57\,\mathrm{J}}

Vemos que el trabajo en ambos casos es positivo, como corresponde a una compresión, pero en el segundo caso es un poco menor que en el primero