Equilibrio de una tabla con tirante

Enunciado

Una mesa plegable está articulada a la pared por un extremo, y cuelga de la pared por un cable tirante. En dos dimensiones esto se puede modelar como una barra de longitud b y masa m distribuida uniformemente. La barra está articulada por su extremo A y atada por su extremo B a una pared vertical, de forma que el cable forma un ángulo de 45° con la vertical. Calcule la tensión del cable, así como la fuerza de reacción en el punto A.

Solución

Para que la barra esté en equilibrio deben cumplirse las ecuaciones de la estática del sólido rígido. Deben anularse la resultande de las fuerzas aplicadas y de los momentos de estas fuerzas.

${\vec {F}}={\vec {0}}\qquad \qquad {\vec {M}}_{O}={\vec {0}}$

Las fuerzas aplicadas son:

• El peso $m{\vec {g}}$ aplicado en el centro de la barra.

$m{\vec {g}}=-mg{\vec {\jmath }}$

• La tensión del cable, ${\vec {F}}_{B}$ aplicada en el extremo B y en la dirección del cable. Por formar éste un ángulo de 45° sus dos componentes son iguales

${\vec {F}}_{Bx}=-F_{Bx}{\vec {\imath }}+F_{Bx}{\vec {\jmath }}$

• La reacción en el punto A, ${\vec {F}}_{A}$

Puesto que la barra está articulada en el punto A, en este punto no se ejerce ningún momento de reacción.

Como centro de reducción O tomamos el propio punto A. De esta forma, nos ahorramos de calcular el momento de esta fuerza de reacción.

La condición de que se anule el momento resultante en A nos da

${\vec {0}}={\vec {M}}_{A}=\left({\frac {b}{2}}{\vec {\imath }}\right)\times (-mg{\vec {\jmath }})+\left(b{\vec {\imath }}\right)\times (-F_{Bx}{\vec {\imath }}+F_{Bx}{\vec {\jmath }})=\left(-{\frac {mgb}{2}}+bF_{Bx}\right){\vec {k}}$

Esto nos da la tensión

$F_{Bx}={\frac {mg}{2}}\qquad \qquad {\vec {F}}_{B}={\frac {mg}{2}}\left(-{\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\right)$

Una vez que tenemos esta fuerza, la de reacción en A es inmediata

${\vec {0}}={\vec {F}}_{A}+m{\vec {g}}+{\vec {F}}_{B}\qquad \Rightarrow \qquad {\vec {F}}_{A}=-m{\vec {g}}-{\vec {F}}_{B}={\frac {mg}{2}}\left({\vec {\imath }}+{\vec {\jmath }}\right)$

Vemos que la suma de las tres fuerzas es nula

    

y que también lo es la suma de sus momentos. Esto se puede comprobar observando que las tres rectas soporte son concurrentes en un punto O. Si tomamos el momento respecto a dicho punto el resultados es nulo.